Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para verificar quais das matrizes A, B, C e D são ortogonais. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como identificar se uma matriz é ou não ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz quadrada é dita ortogonal se o produto dela pela sua transposta resulta na matriz identidade. Em outras palavras, se A^T times A = I é uma matriz ortogonal, então:
Onde é a transposta de e é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos começar verificando a matriz A:
A = 0 & 1 1 & 0
Primeiro, encontramos a transposta de A^T = 0 & 1 1 & 0 :
A^T times A = 0 & 1 1 & 0 times 0 & 1 1 & 0 = (0 times 0 + 1 times 1) & (0 times 1 + 1 times 0) (1 times 0 + 0 times 1) & (1 times 1 + 0 times 0) = 1 & 0 0 & 1 = I
Agora, multiplicamos por :
$$
A^T \times A =
\times
= I
$$
Como , a matriz A é ortogonal.
Passo 4
Agora, vamos verificar a matriz B:
B = 1 & -2 2 & 1
Primeiro, a transposta de B^T = 1 & 2 -2 & 1 :
B^T times B = 1 & 2 -2 & 1 times 1 & -2 2 & 1 = (1 times 1 + 2 times 2) & (1 times -2 + 2 times 1) (-2 times 1 + 1 times 2) & (-2 times -2 + 1 times 1) = 5 & 0 0 & 5
Multiplicando por :
$$
B^T \times B =
\times
$$
Aqui, o resultado não é a matriz identidade, mas sim 5 vezes a identidade. Portanto, B não é uma matriz ortogonal.
Passo 5
Vamos para a matriz C:
C = 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13
Primeiro, a transposta de C^T = 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13 :
C^T times C = 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13 times 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13
Multiplicando (13 times 13) + (2 raiz23 times 2 raiz23) = 19 + 89 = 1 por (13 times 2 raiz23) + (2 raiz23 times -13) = 2 raiz29 - 2 raiz29 = 0 :
0
Vamos calcular cada elemento:
Primeiro elemento:
(2 raiz23 times 2 raiz23) + (-13 times -13) = 89 + 19 = 1
Segundo elemento:
C^T times C = 1 & 0 0 & 1 = I
Terceiro elemento (igual ao segundo):
Quarto elemento:
Então, temos:
Como o produto resultou na matriz identidade, C é uma matriz ortogonal.
Agora, multiplicamos (raiz33 times raiz33) + (-raiz63 times raiz66) + (0 times -raiz22) = 39 - 618 + 0 = 13 - 13 = 0 por . Esse cálculo é um pouco mais trabalhoso, mas vamos verificar apenas se a diagonal principal resulta em 1 e os demais elementos em 0.
Por exemplo, o primeiro elemento da diagonal:
Faz sentido, mas vamos checar um elemento fora da diagonal, por exemplo, o elemento (1,2):
Repetindo o processo para todos os elementos, veremos que . Portanto, D também é uma matriz ortogonal.