Considere as matrizes A=[ll0 & 1 1 & 0] e I=[ll1 & 0 0 & 1]. Defina A^0=I e A^n=A^n-1 A, para todo número natural n >= 1. Mostre que: A^2 n=I e A^2 n+1=A, para todo natural n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas matrizes, e , onde é a matriz identidade. A gente precisa mostrar que, para qualquer número natural :
Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como os expoentes funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 0 & 1 1 & 0 . Isso significa multiplicar a matriz A^2 = A times A = 0 & 1 1 & 0 times 0 & 1 1 & 0 por ela mesma:
A^2 = (0 times 0 + 1 times 1) & (0 times 1 + 1 times 0) (1 times 0 + 0 times 1) & (1 times 1 + 0 times 0) = 1 & 0 0 & 1 = I
Então,
Vamos fazer a multiplicação:
Então, vimos que .

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com uma potência ímpar, como A^3 = I times A = A . Sabemos que . Já calculamos , então:
Assim, .

Passo 4

Percebi que sempre que elevamos A^4 = A^2 times A^2 = I times I = I a uma potência par, o resultado é A^5 = A^4 times A = I times A = A , e a uma potência ímpar, volta a ser . Vamos testar isso para :
E para :
Parece que a tendência continua!

Passo 5

Com base nesses cálculos, podemos generalizar usando indução matemática:
Base da indução:
  • Para :
  • Ambos os casos são verdadeiros.
Passo indutivo:
  • Suponha que para algum , e .
  • Então, para :
  • Portanto, a propriedade se mantém para .
Como a base e o passo indutivo estão comprovados, concluímos que a propriedade vale para todo número natural .

Resposta

Então, mostramos que para todo número natural A^2n = I e A^2n+1 = A :

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