Considere as matrizes
e
. Defina
e
, para todo número natural
. Mostre que:
e
, para todo natural
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas matrizes,
e
, onde
é a matriz identidade. A gente precisa mostrar que, para qualquer número natural
:
Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como os expoentes funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa multiplicar a matriz
por ela mesma:
Então,
Vamos fazer a multiplicação:
Então, vimos que
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com uma potência ímpar, como
. Sabemos que
. Já calculamos
, então:
Assim,
.
Passo 4
Percebi que sempre que elevamos
a uma potência par, o resultado é
, e a uma potência ímpar, volta a ser
. Vamos testar isso para
:
E para
:
Parece que a tendência continua!
Passo 5
Com base nesses cálculos, podemos generalizar usando indução matemática:
Base da indução:
- Para
: -
- Ambos os casos são verdadeiros.
Passo indutivo:
- Suponha que para algum
, e . - Então, para
: -
- Portanto, a propriedade se mantém para
.
Como a base e o passo indutivo estão comprovados, concluímos que a propriedade vale para todo número natural
.
Resposta
Então, mostramos que para todo número natural
: