Calcule os seguintes determinantes:
(d) |lllc6 & 0 & 3 & 0 2 & 0 & 0 & 5 1 & 2 & 3 & 4 1 & 0 & 0 & -4| Resp: 78

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz 4x4 que a gente tem aqui. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e como calculá-los. Para resolver isso, vamos usar a expansão de Laplace, que nos ajuda a calcular determinantes de matrizes maiores de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos calcular o determinante:
6 & 0 & 3 & 0 2 & 0 & 0 & 5 1 & 2 & 3 & 4 1 & 0 & 0 & -4

Passo 3

A expansão de Laplace nos permite calcular o determinante escolhendo uma linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos. Vamos escolher a segunda coluna, já que tem dois zeros, o que facilita a multiplicação.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da expansão de Laplace na segunda coluna. A fórmula geral é:
det(A) = sumi=1^n (-1)^i+j cdot aij cdot det(Aij)
Onde é o elemento da matriz na posição e é a matriz resultante ao remover a linha e a coluna .

Passo 5

Aplicando isso na segunda coluna:
  • Para (-1)^3+2 cdot 2 cdot det( 6 & 3 & 0 2 & 0 & 5 1 & 0 & -4 ) = (-1)^5 cdot 2 cdot det(A32) = -2 cdot det(A32) , , então esse termo será zero.
  • Para , , também zero.
  • Para , :
  • Para , , zero.

Passo 6

Então, só temos um termo não-zero para calcular:
-2 cdot det( 6 & 3 & 0 2 & 0 & 5 1 & 0 & -4 )

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 usando a regra de Sarrus:
det(A32) = 6 cdot (0 cdot (-4) - 5 cdot 0) - 3 cdot (2 cdot (-4) - 5 cdot 1) + 0 cdot (2 cdot 0 - 0 cdot 1)
det(A32) = 6 cdot 0 - 3 cdot (-8 - 5) + 0 cdot 0 = 0 - 3 cdot (-13) + 0 = 39

Passo 8

Voltando ao cálculo do determinante original:
-2 cdot det(A32) = -2 cdot 39 = -78

Resposta

O determinante da matriz é 78.

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