Determine uma matriz que possui elemento genérico com e e em seguida determine e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente precisa primeiro montar a matriz usando a fórmula , onde varia de 1 a 2 e de 1 a 3. Depois, vamos calcular e . Pra isso, vamos precisar entender como montar matrizes e fazer multiplicação de matrizes, além de transpor matrizes (trocar linhas por colunas).
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz . Ela tem 2 linhas () e 3 colunas (). Usando a fórmula :
Para :
Para :
Então, a matriz fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular . Primeiro, precisamos do , que é a matriz transposta de . Isso significa que trocamos linhas por colunas.
A multiplicação A cdot A^t vai resultar em uma matriz 2x2. A gente multiplica as linhas de A pelas colunas de A^t:
A cdot A^t = 1 times 1 + (-1) times (-1) + (-3) times (-3) & 1 times 4 + (-1) times 2 + (-3) times 0 4 times 1 + 2 times (-1) + 0 times (-3) & 4 times 4 + 2 times 2 + 0 times 0
Calculando cada elemento:
Primeiro elemento (1,1):
1 + 1 + 9 = 11
Primeiro elemento (1,2):
4 - 2 + 0 = 2
Segundo elemento (2,1):
4 - 2 + 0 = 2
Segundo elemento (2,2):
16 + 4 + 0 = 20
Então,
A cdot A^t = 11 & 2 2 & 20
Passo 4
Agora vamos calcular A^t cdot A. A multiplicação A^t cdot A vai resultar em uma matriz 3x3. A gente multiplica as linhas de A^t pelas colunas de A:
A^t cdot A = 1 times 1 + 4 times 4 & 1 times (-1) + 4 times 2 & 1 times (-3) + 4 times 0 -1 times 1 + 2 times 4 & (-1) times (-1) + 2 times 2 & (-1) times (-3) + 2 times 0 -3 times 1 + 0 times 4 & -3 times (-1) + 0 times 2 & -3 times (-3) + 0 times 0