Determine uma matriz A que possui elemento genérico ai j=3 i-2 j com i=1,2 e j=1,2,3 e em seguida determine A cdot A^t e A^t cdot A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente precisa primeiro montar a matriz A usando a fórmula aij = 3i - 2j, onde i varia de 1 a 2 e j de 1 a 3. Depois, vamos calcular A cdot A^t e A^t cdot A. Pra isso, vamos precisar entender como montar matrizes e fazer multiplicação de matrizes, além de transpor matrizes (trocar linhas por colunas).

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz A. Ela tem 2 linhas ( i=1,2) e 3 colunas ( j=1,2,3). Usando a fórmula aij = 3i - 2j:
  • Para i=1:
    • a11 = 3(1) - 2(1) = 3 - 2 = 1
    • a12 = 3(1) - 2(2) = 3 - 4 = -1
    • a13 = 3(1) - 2(3) = 3 - 6 = -3
  • Para i=2:
    • a21 = 3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4
    • a22 = 3(2) - 2(2) = 6 - 4 = 2
    • a23 = 3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0
Então, a matriz A fica assim:
A = 1 & -1 & -3 4 & 2 & 0

Passo 3

Agora, vamos calcular A cdot A^t. Primeiro, precisamos do A^t, que é a matriz transposta de A. Isso significa que trocamos linhas por colunas.
A^t = 1 & 4 -1 & 2 -3 & 0
A multiplicação A cdot A^t vai resultar em uma matriz 2x2. A gente multiplica as linhas de A pelas colunas de A^t:
A cdot A^t = 1 times 1 + (-1) times (-1) + (-3) times (-3) & 1 times 4 + (-1) times 2 + (-3) times 0 4 times 1 + 2 times (-1) + 0 times (-3) & 4 times 4 + 2 times 2 + 0 times 0
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (1,1):
    1 + 1 + 9 = 11
  • Primeiro elemento (1,2):
    4 - 2 + 0 = 2
  • Segundo elemento (2,1):
    4 - 2 + 0 = 2
  • Segundo elemento (2,2):
    16 + 4 + 0 = 20
Então,
A cdot A^t = 11 & 2 2 & 20

Passo 4

Agora vamos calcular A^t cdot A. A multiplicação A^t cdot A vai resultar em uma matriz 3x3. A gente multiplica as linhas de A^t pelas colunas de A:
A^t cdot A = 1 times 1 + 4 times 4 & 1 times (-1) + 4 times 2 & 1 times (-3) + 4 times 0 -1 times 1 + 2 times 4 & (-1) times (-1) + 2 times 2 & (-1) times (-3) + 2 times 0 -3 times 1 + 0 times 4 & -3 times (-1) + 0 times 2 & -3 times (-3) + 0 times 0
Calculando cada elemento:
  • Elemento (1,1):
    1 + 16 = 17
  • Elemento (1,2):
    -1 + 8 = 7
  • Elemento (1,3):
    -3 + 0 = -3
  • Elemento (2,1):
    -1 + 8 = 7
  • Elemento (2,2):
    1 + 4 = 5
  • Elemento (2,3):
    3 + 0 = 3
  • Elemento (3,1):
    -3 + 0 = -3
  • Elemento (3,2):
    3 + 0 = 3
  • Elemento (3,3):
    9 + 0 = 9
Então,
A^t cdot A = 17 & 7 & -3 7 & 5 & 3 -3 & 3 & 9

Resposta

A matriz A é:
A = 1 & -1 & -3 4 & 2 & 0
O produto A cdot A^t é:
A cdot A^t = 11 & 2 2 & 20
E o produto A^t cdot A é:
A^t cdot A = 17 & 7 & -3 7 & 5 & 3 -3 & 3 & 9

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