Calcule os seguintes determinantes:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante da seguinte matriz:
Esse exercício envolve determinantes de matrizes 4x4, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver, vamos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos seguir a expansão por cofatores para facilitar.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é mais fácil escolher uma linha ou coluna com zeros, para simplificar os cálculos. Neste caso, vamos escolher a segunda coluna, que tem apenas um número diferente de zero.
Passo 3
A regra de expansão por cofatores diz que o determinante pode ser calculado multiplicando cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu cofator correspondente e somando os resultados. O cofator leva em conta o sinal (+ ou -) e o determinante da matriz menor que sobra quando retiramos a linha e coluna do elemento escolhido.
Passo 4
Vamos aplicar isso na segunda coluna:
Cada elemento da segunda coluna será multiplicado pelo seu cofator.
Passo 5
Vamos calcular cada termo:
-
Primeiro elemento (linha 1, coluna 2): 0
0 times C12 = 0 Não precisa calcular o cofator porque é multiplicado por zero. -
Segundo elemento (linha 2, coluna 2): 1O cofator
tem sinal positivo2 & 0 & 1 1 & 2 & 0 1 & -2 & 3 .2 times (2 times 3 - 0 times (-2)) - 0 times (1 times 3 - 0 times 1) + 1 times (1 times (-2) - 2 times 1) = 2 times 6 - 0 + 1 times (-4) = 12 - 0 - 4 = 8 Removendo a linha 2 e a coluna 2, a matriz menor fica:1 times 8 = 8 Calculamos o determinante dessa matriz 3x3:2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & -2 & 3 Então:2 times (0 times 3 - 0 times (-2)) - 0 times (0 times 3 - 0 times 1) + 1 times (0 times (-2) - 0 times 1) = 2 times 0 - 0 + 1 times 0 = 0 -
Terceiro elemento (linha 3, coluna 2): 6O cofator
tem sinal negativo6 times (-0) = 0 .2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 Removendo a linha 3 e a coluna 2, a matriz menor fica:2 times (0 times 0 - 0 times 2) - 0 times (0 times 0 - 0 times 1) + 1 times (0 times 2 - 0 times 1) = 2 times 0 - 0 + 1 times 0 = 0 Calculando o determinante:1 times 0 = 0 Então: -
Quarto elemento (linha 4, coluna 2): 1O cofator
tem sinal positivo .Removendo a linha 4 e a coluna 2, a matriz menor fica:Calculando o determinante:Então:
Passo 6
Agora, somamos todos os termos calculados:
Resposta
O determinante da matriz é 8.