Calcule os seguintes determinantes:
(g) |rrrr2 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & 6 & 2 & 0 1 & 1 & -2 & 3|

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da seguinte matriz:
2 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & 6 & 2 & 0 1 & 1 & -2 & 3
Esse exercício envolve determinantes de matrizes 4x4, que fazem parte da álgebra linear. Para resolver, vamos usar a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos seguir a expansão por cofatores para facilitar.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é mais fácil escolher uma linha ou coluna com zeros, para simplificar os cálculos. Neste caso, vamos escolher a segunda coluna, que tem apenas um número diferente de zero.

Passo 3

A regra de expansão por cofatores diz que o determinante pode ser calculado multiplicando cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu cofator correspondente e somando os resultados. O cofator leva em conta o sinal (+ ou -) e o determinante da matriz menor que sobra quando retiramos a linha e coluna do elemento escolhido.

Passo 4

Vamos aplicar isso na segunda coluna:
2 & colorred0 & 0 & 1 0 & colorred1 & 0 & 0 1 & colorred6 & 2 & 0 1 & colorred1 & -2 & 3
Cada elemento da segunda coluna será multiplicado pelo seu cofator.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro elemento (linha 1, coluna 2): 0
    0 times C12 = 0
    Não precisa calcular o cofator porque é multiplicado por zero.
  2. Segundo elemento (linha 2, coluna 2): 1
    O cofator 2 & 0 & 1 1 & 2 & 0 1 & -2 & 3 tem sinal positivo 2 times (2 times 3 - 0 times (-2)) - 0 times (1 times 3 - 0 times 1) + 1 times (1 times (-2) - 2 times 1) = 2 times 6 - 0 + 1 times (-4) = 12 - 0 - 4 = 8 .
    Removendo a linha 2 e a coluna 2, a matriz menor fica:
    1 times 8 = 8
    Calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
    2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & -2 & 3
    Então:
    2 times (0 times 3 - 0 times (-2)) - 0 times (0 times 3 - 0 times 1) + 1 times (0 times (-2) - 0 times 1) = 2 times 0 - 0 + 1 times 0 = 0
  3. Terceiro elemento (linha 3, coluna 2): 6
    O cofator 6 times (-0) = 0 tem sinal negativo 2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 .
    Removendo a linha 3 e a coluna 2, a matriz menor fica:
    2 times (0 times 0 - 0 times 2) - 0 times (0 times 0 - 0 times 1) + 1 times (0 times 2 - 0 times 1) = 2 times 0 - 0 + 1 times 0 = 0
    Calculando o determinante:
    1 times 0 = 0
    Então:
  4. Quarto elemento (linha 4, coluna 2): 1
    O cofator tem sinal positivo .
    Removendo a linha 4 e a coluna 2, a matriz menor fica:
    Calculando o determinante:
    Então:

Passo 6

Agora, somamos todos os termos calculados:
0 + 8 + 0 + 0 = 8

Resposta

O determinante da matriz é 8.

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