Determine se o conjunto de funções
em
tais que
é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se o conjunto de funções
em
que satisfazem
é um subespaço de
. Aqui,
representa o espaço de todas as funções contínuas no intervalo de
. Vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e o que faz um conjunto ser considerado um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (no nosso caso, funções) onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações obedecem a certas regras, como associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Um subespaço é um subconjunto desse espaço vetorial que também satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. Ou seja, ele precisa conter o vetor zero (ou função zero, no nosso caso), ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto das funções
em
com
atende a esses critérios.
Primeiro, verificamos se o conjunto não está vazio. A função zero,
, claramente satisfaz
, então o conjunto não está vazio.
Passo 4
Segundo, verificamos se o conjunto é fechado em relação à adição. Ou seja, se pegarmos duas funções
e
que satisfazem
e
, a função
também deve satisfazer essa condição.
Vamos calcular:
Então,
também satisfaz
, ou seja, está no conjunto.
Passo 5
Terceiro, verificamos se o conjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar. Se
está no conjunto e
é um escalar, então
também deve estar no conjunto.
Calculando:
Portanto,
também satisfaz
, mantendo-se no conjunto.
Resposta
Como o conjunto das funções
em
que satisfazem
não está vazio, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que ele é um subespaço de
.