Determine se o conjunto de funções f em C([-1,1]) tais que f(-1)=f(1) é um subespaço de C([-1,1]).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir se o conjunto de funções em que satisfazem é um subespaço de . Aqui, representa o espaço de todas as funções contínuas no intervalo de . Vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e o que faz um conjunto ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (no nosso caso, funções) onde podemos fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações obedecem a certas regras, como associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Um subespaço é um subconjunto desse espaço vetorial que também satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. Ou seja, ele precisa conter o vetor zero (ou função zero, no nosso caso), ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto das funções em com atende a esses critérios.
Primeiro, verificamos se o conjunto não está vazio. A função zero, , claramente satisfaz , então o conjunto não está vazio.

Passo 4

Segundo, verificamos se o conjunto é fechado em relação à adição. Ou seja, se pegarmos duas funções (f + g)(-1) = f(-1) + g(-1) = f(1) + g(1) = (f + g)(1) e que satisfazem e , a função também deve satisfazer essa condição.
Vamos calcular:
Então, também satisfaz , ou seja, está no conjunto.

Passo 5

Terceiro, verificamos se o conjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar. Se (alpha f)(-1) = alpha f(-1) = alpha f(1) = (alpha f)(1) está no conjunto e é um escalar, então também deve estar no conjunto.
Calculando:
Portanto, também satisfaz , mantendo-se no conjunto.

Resposta

Como o conjunto das funções em que satisfazem não está vazio, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, podemos concluir que ele é um subespaço de .

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