Calcule os seguintes determinantes:
(b) |ccc1+a & b & c a & 1+b & c a & b & 1+c|;

Passo 1

Vamos calcular o determinante da matriz
1+a & b & c a & 1+b & c a & b & 1+c
Este exercício está relacionado ao estudo de determinantes de matrizes, um conceito fundamental em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula do determinante para matrizes 3x3, que nos permite calcular o valor do determinante a partir dos elementos da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do determinante para uma matriz 3x3:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Onde representa o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz.

Passo 3

Vamos identificar os elementos da matriz dada:
a11 = 1 + a, a12 = b, a13 = c
a21 = a, a22 = 1 + b, a23 = c
a31 = a, a32 = b, a33 = 1 + c

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = (1 + a) [ (1 + b)(1 + c) - c cdot b ] - b [ a(1 + c) - c cdot a ] + c [ a cdot b - (1 + b) cdot a ]

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
(1 + b)(1 + c) - c cdot b = 1 + b + c + bc - bc = 1 + b + c
  1. Segundo termo:
a(1 + c) - c cdot a = a + ac - ac = a
  1. Terceiro termo:
a cdot b - (1 + b) cdot a = ab - a - a b = -a

Passo 6

Substituindo de volta esses resultados na expressão do determinante:
det(A) = (1 + a)(1 + b + c) - b(a) + c(-a)
Simplificando:
det(A) = (1 + a)(1 + b + c) - a b - a c
Expandindo o primeiro termo:
(1 + a)(1 + b + c) = 1 cdot (1 + b + c) + a cdot (1 + b + c) = 1 + b + c + a + a b + a c
Substituindo de volta:
det(A) = 1 + b + c + a + a b + a c - a b - a c

Resposta

Após simplificar, o determinante da matriz é:
det(A) = 1 + a + b + c

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