Sejam A=(ai j)70 times 5 e B=(bi j)5 times 27 matrizes definidas por:
ai j=rrri, & se & i=j i+j+2 & se & i neq j e bi j=rrrj-2, & se & i= j.
Se D=A B, calcule o elemento d35,2, sendo D=(di j).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular um elemento específico, d35,2, da matriz D que resulta da multiplicação das matrizes A e B. Aqui estamos trabalhando com multiplicação de matrizes, que é um conceito fundamental em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e aplicar as fórmulas dadas para A e B.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos uma matriz A de dimensão m times n e uma matriz B de dimensão n times p, o produto D = AB será uma matriz de dimensão m times p. O elemento di,j de D é calculado fazendo o produto escalar entre a i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B:
di,j = sumk=1^n ai,k cdot bk,j

Passo 3

No nosso caso, A é uma matriz 70 times 5 e B é uma matriz 5 times 27. Isso significa que D = AB será uma matriz 70 times 27. Nós precisamos encontrar o elemento d35,2, que corresponde ao produto escalar entre a 35ª linha de A e a 2ª coluna de B.

Passo 4

Vamos começar encontrando os elementos da 35ª linha de A. A matriz A �� definida por:
ai,j = i, & se i = j i + j + 2, & se i neq j
Como A tem 5 colunas, os elementos da 35ª linha serão:
a35,1 &= 35 + 1 + 2 = 38 (pois 35 neq 1) a35,2 &= 35 + 2 + 2 = 39 (pois 35 neq 2) a35,3 &= 35 + 3 + 2 = 40 (pois 35 neq 3) a35,4 &= 35 + 4 + 2 = 41 (pois 35 neq 4) a35,5 &= 35 + 5 + 2 = 42 (pois 35 neq 5)
Então, a 35ª linha de A é: (38, 39, 40, 41, 42).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os elementos da 2ª coluna de B. A matriz B é definida por:
bi,j = j - 2, & se i < j ij, & se i >= j
Como B tem 5 linhas, os elementos da 2ª coluna serão:
b1,2 &= 2 - 2 = 0 (pois 1 < 2) b2,2 &= 22 = 1 (pois 2 >= 2) b3,2 &= 32 = 1.5 (pois 3 >= 2) b4,2 &= 42 = 2 (pois 4 >= 2) b5,2 &= 52 = 2.5 (pois 5 >= 2)
Então, a 2ª coluna de B é: (0, 1, 1.5, 2, 2.5).

Passo 6

Agora que temos a 35ª linha de A e a 2ª coluna de B, vamos calcular o produto escalar entre elas para encontrar d35,2:
d35,2 = a35,1 cdot b1,2 + a35,2 cdot b2,2 + a35,3 cdot b3,2 + a35,4 cdot b4,2 + a35,5 cdot b5,2
Substituindo os valores:
d35,2 &= 38 cdot 0 + 39 cdot 1 + 40 cdot 1.5 + 41 cdot 2 + 42 cdot 2.5 &= 0 + 39 + 60 + 82 + 105 &= 286

Resposta

O elemento d35,2 da matriz D = AB é 286.

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