Suponha que A é uma matriz quadrada e que D é uma matriz diagonal tal que A D=I. O que se pode afirmar sobre a matriz A? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem duas matrizes quadradas, e , onde é uma matriz diagonal. A relação dada é , onde é a matriz identidade. Nosso objetivo é descobrir o que isso nos diz sobre a matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo:
D = d1 & 0 & cdots & 0 0 & d2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & dn

Passo 3

Agora, a equação I = 1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1 nos diz que, ao multiplicar por , a gente obtém a matriz identidade . A matriz identidade é a “mãe das matrizes”, ela tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela:

Passo 4

Para que A = D^-1 , a matriz precisa ser a inversa de . Isso porque, por definição, a matriz inversa de , denotada por , satisfaz . Então, podemos escrever:

Passo 5

Como D = d1 & 0 & cdots & 0 0 & d2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & dn é uma matriz diagonal, sua inversa D^-1 = 1d1 & 0 & cdots & 0 0 & 1d2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1dn também é uma matriz diagonal, onde cada elemento na diagonal é o inverso do correspondente em . Ou seja, se:
Então:

Passo 6

Portanto, tem que ser uma matriz diagonal com elementos na diagonal sendo os inversos dos elementos correspondentes em . Isso significa que também é invertível, já que sua inversa existe e é diagonal.

Resposta

A matriz é invertível e também é uma matriz diagonal cujos elementos na diagonal são os inversos dos elementos correspondentes em . Ou seja, .

Exercícios relacionados