Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z números reais tais que a matriz A seja simétrica.
(b) B=[ccc8 & x+3 & -10 15 & -5 & -8 y-2 & 2 z & 9],

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e precisa encontrar os valores de , e para que essa matriz seja simétrica. Matrizes simétricas são aquelas que são iguais às suas transpostas, ou seja, se a gente troca as linhas pelas colunas, a matriz não muda. Isso significa que os elementos em posições opostas em relação à diagonal principal precisam ser iguais. Para resolver isso, vamos comparar os elementos correspondentes da matriz com a sua transposta e montar umas equações bacanas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz B = 8 & x+3 & -10 15 & -5 & -8 y-2 & 2z & 9 e sua transposta B^T = 8 & 15 & y-2 x+3 & -5 & 2z -10 & -8 & 9 :
Para ser simétrica, . Então, vamos igualar os elementos correspondentes.

Passo 3

Vamos comparar os elementos acima e abaixo da diagonal principal:
  1. Elemento (1,2) e (2,1):
    x + 3 = 15
    Aqui, a gente tem que -10 = y - 2 deve ser igual a 15.
  2. Elemento (1,3) e (3,1):
    -8 = 2z
    Nesse caso, precisa ser igual a .
  3. Elemento (2,3) e (3,2):
    Aqui, tem que ser igual a .

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar x + 3 = 15 x = 15 - 3 x = 12 , -10 = y - 2 y = -10 + 2 y = -8 e -8 = 2z z = -82 z = -4 .
  1. Resolvendo para :
  2. Resolvendo para :
  3. Resolvendo para :

Resposta

Então, os valores que fazem a matriz x = 12, y = -8, z = -4 ser simétrica são:

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