Calcule os seguintes determinantes:
(a) |cccos (beta t) & sen(beta t) -beta sen(beta t) & beta cos (beta t)|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante juntos! O que precisamos fazer aqui é calcular o determinante de uma matriz 2x2 que envolve funções trigonométricas. Para isso, vamos usar a fórmula básica de determinantes e lembrar de algumas propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Se temos uma matriz assim:
a & b c & d
O determinante é calculado por:
|M| = ad - bc
Isso significa que multiplicamos os elementos da diagonal principal (a e d) e subtraímos o produto dos elementos da diagonal secundária (b e c).

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à matriz que temos:
M = cos (beta t) & sin(beta t) -beta sin(beta t) & beta cos (beta t)
Identificando os elementos:

Passo 4

Aplicando a fórmula do determinante:
|M| = a cdot d - b cdot c
Substituindo os valores:
|M| = cos (beta t) cdot beta cos (beta t) - sin(beta t) cdot (-beta sin(beta t))

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
|M| = beta cos^2 (beta t) + beta sin^2 (beta t)
Podemos fatorar o |M| = beta (cos^2 (beta t) + sin^2 (beta t)) :
|M| = beta cdot 1 = beta
Sabemos que , então:

Resposta

|M| = beta

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