Resolva os sistemas lineares usando o método da eliminaçũo de Gauss.
(e)) lx-2 y+z=2 2 x-y-z=1 -3 x+6 y-3 z=-6 Resp: S.P.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da eliminação de Gauss. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações simultaneamente. Para isso, vamos transformar o sistema em uma forma mais simples usando operações de linha até chegar numa solução clara.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
1 & -2 & 1 & | & 2 2 & -1 & -1 & | & 1 -3 & 6 & -3 & | & -6

Passo 3

O próximo passo é usar a primeira equação para eliminar o R2' = R2 - 2 times R1 das demais equações. Vamos transformar a segunda e a terceira linha.
Para eliminar o R2' = (2, -1, -1, |, 1) - 2 times (1, -2, 1, |, 2) = (0, 3, -3, |, -3) da segunda linha, fazemos:
R3' = R3 + 3 times R1
R3' = (-3, 6, -3, |, -6) + 3 times (1, -2, 1, |, 2) = (0, 0, 0, |, 0)
Para eliminar o 1 & -2 & 1 & | & 2 0 & 3 & -3 & | & -3 0 & 0 & 0 & | & 0 da terceira linha, fazemos:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Observamos que a terceira linha se tornou zero igual a zero, o que significa que essa equação não adiciona nenhuma informação nova ao sistema. Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por 3 para facilitar:
R2'' = 13 times R2' = (0, 1, -1, |, -1)
A matriz agora é:
1 & -2 & 1 & | & 2 0 & 1 & -1 & | & -1 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos expressar as equações a partir dessa matriz:
  1. y = z - 1
Podemos resolver a segunda equação para :

Passo 6

Substituímos x - 2(z - 1) + z = 2 na primeira equação:
x - 2z + 2 + z = 2
x - z + 2 = 2
x - z = 0
x = z

Passo 7

Agora, temos x = t y = t - 1 z = t e . Como é um parâmetro livre, podemos definir , onde é um número real qualquer.
Então, as soluções são:

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, podendo ser representadas em função de um parâmetro x = t y = t - 1 z = t :

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