Calcule (usando integração por partes) integral x^4 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como polinômios e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a integração por partes várias vezes, reduzindo o grau do polinômio a cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão e . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar, e como a parte que pode ser facilmente integrada.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x^4 e dv = e^2x , dx
Então, derivamos du = 4x^3 , dx e v = e^2x2 e integramos integral x^4 e^2x , dx = u cdot v - integral v , du = x^4 cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot 4x^3 , dx :
= x^4 e^2x2 - 2 integral x^3 e^2x , dx
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos calcular u = x^3 e dv = e^2x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Escolhemos:
du = 3x^2 , dx e v = e^2x2
Derivando e integrando:
integral x^3 e^2x , dx = x^3 cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot 3x^2 , dx
Aplicando a fórmula:
= x^3 e^2x2 - 32 integral x^2 e^2x , dx
Simplificando:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x^4 e^2x , dx = x^4 e^2x2 - 2 ( x^3 e^2x2 - 32 integral x^2 e^2x , dx )
Simplificando:
= x^4 e^2x2 - x^3 e^2x + 3 integral x^2 e^2x , dx
Agora, precisamos calcular e repetir o processo.

Passo 6

Continuando o processo de integração por partes para u = x^2 e dv = e^2x , dx , escolhemos:
du = 2x , dx e v = e^2x2
Derivando e integrando:
integral x^2 e^2x , dx = x^2 cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot 2x , dx
Aplicando a fórmula:
= x^2 e^2x2 - integral x e^2x , dx
Simplificando:
Finalmente, precisamos resolver usando integração por partes mais uma vez.

Passo 7

Para u = x e dv = e^2x , dx , escolhemos:
du = dx e v = e^2x2
Derivando e integrando:
integral x e^2x , dx = x cdot e^2x2 - integral e^2x2 , dx = x e^2x2 - e^2x4
Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^2x , dx = x^2 e^2x2 - ( x e^2x2 - e^2x4 ) = x^2 e^2x2 - x e^2x2 + e^2x4
Substituindo de volta:
integral x^4 e^2x , dx = x^4 e^2x2 - x^3 e^2x + 3 ( x^2 e^2x2 - x e^2x2 + e^2x4 ) + C
Substituindo novamente na expressão de = x^4 e^2x2 - x^3 e^2x + 3x^2 e^2x2 - 3x e^2x2 + 3 e^2x4 + C :
Simplificando tudo:

Resposta

A integral e^2x2 ( x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 3x + 32 ) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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