Calcule (usando integração por partes)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral
usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como polinômios e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a integração por partes várias vezes, reduzindo o grau do polinômio a cada passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar, e
como a parte que pode ser facilmente integrada.
Passo 3
Vamos escolher:
Então, derivamos
e integramos
:
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Escolhemos:
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Agora, precisamos calcular
e repetir o processo.
Passo 6
Continuando o processo de integração por partes para
, escolhemos:
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Finalmente, precisamos resolver
usando integração por partes mais uma vez.
Passo 7
Para
, escolhemos:
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta:
Substituindo novamente na expressão de
:
Simplificando tudo:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.