Calcule as seguintes integrais.

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício que pede para gente calcular uma integral dupla: . A matéria envolve integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem das integrações e usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde estamos integrando. As variáveis vão de 0 a 1, e para cada , vai de até 1. Isso significa que estamos na região acima da linha dentro do quadrado de 0 a 1.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em de a 1 e depois em de 0 a 1, vamos integrar primeiro em de 0 a e depois em de 0 a 1. Isso muda a integral para:

Passo 4

Agora, observamos que não depende de . Então, ao integrar em relação a , tratamos como uma constante. A integral interna fica:

Passo 5

Substituindo isso na integral externa, temos:

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos a técnica de substituição. Vamos deixar , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Voltando para , temos:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:

Resposta

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