Calcule as seguintes integrais.
onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região específica no primeiro octante, que está abaixo do paraboloide . O que isso significa? Basicamente, vamos somar os valores da função em todos os pontos dentro desse sólido. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e entender como definir os limites de integração para a região E.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E. Estamos no primeiro octante, o que significa que , e são todos positivos ou zero. Além disso, a região está abaixo do paraboloide . Isso nos dá os limites superiores para .

Passo 3

Vamos escolher os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, e variam de 0 até o ponto onde o paraboloide cruza os eixos. Para encontrar isso, quando :
Este é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a região no plano é circular. Lembre-se que em coordenadas polares:
Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a , e de 0 a 2.

Passo 5

Agora, expressamos a função em coordenadas polares. Porém, ainda está em termos de e :
Então, a função fica:

Passo 6

Vamos montar a integral tripla. Primeiro, integramos em relação a de 0 até , depois em de 0 a 2, e finalmente em de 0 a :

Passo 7

Vamos resolver a integral em :

Passo 8

Substituindo de volta na integral, temos:
Expandindo a expressão:

Passo 9

Vamos agora integrar em . Isso envolve calcular cada termo separadamente:
Simplificando e resolvendo cada integral:
  1. Para o primeiro termo:
  1. Para o segundo termo:
  1. Para o terceiro termo:

Passo 10

Agora, substituímos de volta na integral em :
Integrando cada termo:
Calculando:
Simplificando:

Resposta

A integral tripla vale:

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