onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região específica no primeiro octante, que está abaixo do paraboloide . O que isso significa? Basicamente, vamos somar os valores da função em todos os pontos dentro desse sólido. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e entender como definir os limites de integração para a região E.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região E. Estamos no primeiro octante, o que significa que , e são todos positivos ou zero. Além disso, a região está abaixo do paraboloide . Isso nos dá os limites superiores para .
Passo 3
Vamos escolher os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, e variam de 0 até o ponto onde o paraboloide cruza os eixos. Para encontrar isso, quando :
Este é um círculo de raio 2 no plano .
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a região no plano é circular. Lembre-se que em coordenadas polares:
Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a , e de 0 a 2.
Passo 5
Agora, expressamos a função em coordenadas polares. Porém, ainda está em termos de e :
Então, a função fica:
Passo 6
Vamos montar a integral tripla. Primeiro, integramos em relação a de 0 até , depois em de 0 a 2, e finalmente em de 0 a :
Passo 7
Vamos resolver a integral em :
Passo 8
Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^pi2 integral0^2 ( r cos theta + r sin theta + 4 - r^2 )(4 - r^2) r , dr , dtheta
Expandindo a expressão:
integral0^pi2 integral0^2 [ r (4 - r^2) cos theta + r (4 - r^2) sin theta + (4 - r^2)^2 ] r , dr , dtheta
Passo 9
Vamos agora integrar em integral0^2 r^2 (4 - r^2) cos theta , dr + integral0^2 r^2 (4 - r^2) sin theta , dr + integral0^2 r (4 - r^2)^2 , dr . Isso envolve calcular cada termo separadamente:
cos theta integral0^2 (4r^2 - r^4) , dr = cos theta [ 4r^33 - r^55 ]0^2 = cos theta ( 323 - 325 ) = cos theta ( 160 - 9615 ) = 6415 cos theta
Simplificando e resolvendo cada integral:
Para o primeiro termo:
sin theta integral0^2 (4r^2 - r^4) , dr = sin theta ( 323 - 325 ) = 6415 sin theta
Para o segundo termo:
integral0^2 (4 - r^2)^2 r , dr = integral0^2 (16 - 8r^2 + r^4) r , dr = integral0^2 (16r - 8r^3 + r^5) , dr = [ 8r^2 - 2r^4 + r^66 ]0^2 = 32 - 32 + 646 = 646 = 323
Para o terceiro termo:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na integral em integral0^pi2 ( 6415 cos theta + 6415 sin theta + 323 ) dtheta :
6415 integral0^pi2 cos theta , dtheta + 6415 integral0^pi2 sin theta , dtheta + 323 integral0^pi2 dtheta