onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla sobre uma região específica no primeiro octante, que está abaixo do paraboloide . O que isso significa? Basicamente, vamos somar os valores da função em todos os pontos dentro desse sólido. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e entender como definir os limites de integração para a região E.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região E. Estamos no primeiro octante, o que significa que , e são todos positivos ou zero. Além disso, a região está abaixo do paraboloide . Isso nos dá os limites superiores para .
Passo 3
Vamos escolher os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, e variam de 0 até o ponto onde o paraboloide cruza os eixos. Para encontrar isso, quando :
Este é um círculo de raio 2 no plano .
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a região no plano é circular. Lembre-se que em coordenadas polares:
Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a , e de 0 a 2.
Passo 5
Agora, expressamos a função em coordenadas polares. Porém, ainda está em termos de e :
Então, a função fica:
Passo 6
Vamos montar a integral tripla. Primeiro, integramos em relação a de 0 até , depois em de 0 a 2, e finalmente em de 0 a :
Passo 7
Vamos resolver a integral em :
Passo 8
Substituindo de volta na integral, temos:
Expandindo a expressão:
Passo 9
Vamos agora integrar em . Isso envolve calcular cada termo separadamente: