Determine a massa do sólido
limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, se
tem densidade constante
.
BOA PROVA!
BOA PROVA!
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo geometria sólida. A questão pede para determinar a massa de um sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, sabendo que a densidade do sólido é constante, representada por
. Para resolver isso, vamos precisar calcular o volume desse sólido e então multiplicar pela densidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma do sólido. O paraboloide
é uma superfície parabólica que se abre para cima. O plano
corta esse paraboloide, criando uma região fechada. Queremos calcular o volume dessa região limitada.
Passo 3
Para calcular o volume, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas devido à simetria do paraboloide. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. A equação do paraboloide fica
.
Passo 4
O limite superior de
é o plano
. Portanto, vamos integrar
de
até
. Os limites para
vão de 0 até onde o paraboloide e o plano se interceptam.
Passo 5
Para encontrar o limite de
, igualamos as equações do paraboloide e do plano:
Então,
varia de 0 a 1.
Passo 6
A integral para o volume
em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui,
é o fator de Jacobiano para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em
:
Passo 9
Por fim, resolvemos a integral em
:
Então, o volume do sólido é
.
Passo 10
Agora que temos o volume, podemos calcular a massa
multiplicando o volume pela densidade constante
:
Resposta
A massa do sólido
é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais.
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
Determine e faça o esboço do domínio da função dada.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.