Determine a massa do sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano , se tem densidade constante .
BOA PROVA!

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo geometria sólida. A questão pede para determinar a massa de um sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano , sabendo que a densidade do sólido é constante, representada por . Para resolver isso, vamos precisar calcular o volume desse sólido e então multiplicar pela densidade .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do sólido. O paraboloide é uma superfície parabólica que se abre para cima. O plano corta esse paraboloide, criando uma região fechada. Queremos calcular o volume dessa região limitada.

Passo 3

Para calcular o volume, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas devido à simetria do paraboloide. Nas coordenadas cilíndricas, , e . A equação do paraboloide fica .

Passo 4

O limite superior de é o plano . Portanto, vamos integrar de até . Os limites para vão de 0 até onde o paraboloide e o plano se interceptam.

Passo 5

Para encontrar o limite de , igualamos as equações do paraboloide e do plano:
Então, varia de 0 a 1.

Passo 6

A integral para o volume em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, é o fator de Jacobiano para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em :

Passo 9

Por fim, resolvemos a integral em :
Então, o volume do sólido é .

Passo 10

Agora que temos o volume, podemos calcular a massa multiplicando o volume pela densidade constante :

Resposta

A massa do sólido é .

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Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.