Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por no ponto . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para determinar a inclinação da superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente em um ponto de uma superfície é dado pela equação:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Resposta

Então, substituindo esses valores na equação do plano tangente:
Simplificando:
Portanto, a equação do plano tangente é .

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onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
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BOA PROVA!