Verifique, usando integração por partes:
b) integral cos ^5 x d x=15 cos ^4 x cdot sen x+415 cos ^2 x cdot sen x+815 sen x+C

Passo 1

Beleza, vamos verificar a integral usando integração por partes. A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e aplicar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa estratégia é separar a potência ímpar de cosseno:
  • Seja
  • Então,
Essa escolha vai simplificar as coisas porque a derivada de vai diminuir a potência do cosseno.

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral cos^5 x , dx = cos^4 x cdot sin x - integral sin x cdot (-4 cos^3 x sin x) , dx
Simplificando:
integral cos^5 x , dx = cos^4 x sin x + 4 integral cos^3 x sin^2 x , dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral que ficou:
integral cos^3 x sin^2 x , dx
Sabemos que integral cos^3 x (1 - cos^2 x) , dx = integral cos^3 x , dx - integral cos^5 x , dx , então substituindo:
I = cos^4 x sin x + 4 ( integral cos^3 x , dx - I )
Vamos chamar I + 4I = cos^4 x sin x + 4 integral cos^3 x , dx 5I = cos^4 x sin x + 4 integral cos^3 x , dx de I = 15 cos^4 x sin x + 45 integral cos^3 x , dx :
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, precisamos resolver integral cos^3 x , dx = cos^2 x sin x - integral sin x (-2 cos x sin x) , dx = cos^2 x sin x + 2 integral cos x sin^2 x , dx . Vamos usar integração por partes novamente:
  • Seja = cos^2 x sin x + 2 ( integral cos x , dx - integral cos^3 x , dx )
  • Então, J = cos^2 x sin x + 2 ( sin x - J ) J + 2J = cos^2 x sin x + 2 sin x 3J = cos^2 x sin x + 2 sin x J = 13 cos^2 x sin x + 23 sin x
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Substituindo :
Chamando de :

Passo 7

Voltando à nossa expressão para I = 15 cos^4 x sin x + 45 ( 13 cos^2 x sin x + 23 sin x ) = 15 cos^4 x sin x + 415 cos^2 x sin x + 815 sin x :

Resposta

integral cos^5 x , dx = 15 cos^4 x cdot sin x + 415 cos^2 x cdot sin x + 815 sin x + C

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