Calcule as seguintes integrais:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de
em relação a
. O conteúdo que vamos usar é cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes duas vezes ou usar uma fórmula padrão para integrais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
Onde
e
são partes da função que estamos integrando.
Passo 3
Vamos escolher nossas partes para a integração por partes. Vamos deixar
e
. Assim, precisamos encontrar
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral.
Novamente, escolhemos:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Aplicando a fórmula da integração por partes nessa nova integral:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o
:
Passo 8
Agora, vamos isolar a integral
. Vamos chamar essa integral de
:
Somando
aos dois lados:
Passo 9
Resolvendo para
:
Simplificando:
Resposta
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
b)
b)
Calcule as seguintes integrais:
a)
a)
Verifique, usando integração por partes:
b)
b)
Use o item (b) para obter a primitiva
da função
tal que