Calcule as seguintes integrais:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de em relação a . O conteúdo que vamos usar é cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes duas vezes ou usar uma fórmula padrão para integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
Onde e são partes da função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos escolher nossas partes para a integração por partes. Vamos deixar e . Assim, precisamos encontrar e .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: . Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral.
Novamente, escolhemos:
Calculando :
Calculando :

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes nessa nova integral:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o :

Passo 8

Agora, vamos isolar a integral . Vamos chamar essa integral de :
Somando aos dois lados:

Passo 9

Resolvendo para :
Simplificando:

Resposta

A integral de é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule as seguintes integrais:
b)
Calcule as seguintes integrais:
a)
Verifique, usando integração por partes:
b)
Use o item (b) para obter a primitiva da função tal que