Calcule as seguintes integrais:
a) integral e^3 t cos 2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de em relação a . O conteúdo que vamos usar é cálculo integral, especificamente técnicas de integração envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes duas vezes ou usar uma fórmula padrão para integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Onde e são partes da função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos escolher nossas partes para a integração por partes. Vamos deixar du = ddt e^3t dt = 3 e^3t dt e v = integral cos(2t) dt = sin(2t)2 . Assim, precisamos encontrar e .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^3t cos(2t) dt = u v - integral v , du = e^3t cdot sin(2t)2 - integral sin(2t)2 cdot 3 e^3t dt
Simplificando:
= e^3t sin(2t)2 - 32 integral e^3t sin(2t) dt

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: u = e^3t e dv = sin(2t) dt . Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral.
Novamente, escolhemos:
du = 3 e^3t dt
Calculando v = -cos(2t)2 :
Calculando :

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes nessa nova integral:
integral e^3t sin(2t) dt = u v - integral v , du = e^3t cdot (-cos(2t)2) - integral (-cos(2t)2) cdot 3 e^3t dt
Simplificando:
= -e^3t cos(2t)2 + 32 integral e^3t cos(2t) dt

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral e^3t cos(2t) dt = e^3t sin(2t)2 - 32 ( -e^3t cos(2t)2 + 32 integral e^3t cos(2t) dt )
Distribuindo o = e^3t sin(2t)2 + 3 e^3t cos(2t)4 - 94 integral e^3t cos(2t) dt :

Passo 8

Agora, vamos isolar a integral I = e^3t sin(2t)2 + 3 e^3t cos(2t)4 - 94 I . Vamos chamar essa integral de I + 94 I = e^3t sin(2t)2 + 3 e^3t cos(2t)4 :
134 I = e^3t sin(2t)2 + 3 e^3t cos(2t)4
Somando aos dois lados:

Passo 9

Resolvendo para I = ( e^3t sin(2t)2 + 3 e^3t cos(2t)4 ) cdot 413 :
I = 2 e^3t sin(2t)13 + 3 e^3t cos(2t)13
Simplificando:
I = e^3t (2 sin(2t) + 3 cos(2t))13

Resposta

A integral de integral e^3t cos(2t) dt = e^3t (2 sin(2t) + 3 cos(2t))13 + C é:
Onde é a constante de integração.

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