Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(a) Se e são duas funções deriváveis tais que para todo , então podemos concluir que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas funções, e , que são deriváveis no intervalo . Além disso, sabemos que as derivadas delas são iguais em todo ponto desse intervalo, ou seja, para todo . A pergunta é: podemos concluir que para todo nesse intervalo?
Aqui, estamos lidando com o conceito de derivadas e como elas se relacionam com as próprias funções. Vamos precisar lembrar que se duas funções têm derivadas iguais em um intervalo, isso nos dá uma informação específica sobre como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma regra importante de cálculo: Se duas funções têm a mesma derivada em todo ponto de um intervalo, então elas diferem apenas por uma constante. Em outras palavras, se para todo no intervalo , então existe uma constante tal que:
Isso significa que as funções e têm taxas de variação iguais, mas uma pode estar “deslocada” verticalmente em relação à outra por uma constante .

Passo 3

Agora, voltando ao nosso problema: queremos saber se para todo . De acordo com a regra que lembramos, sabemos que:
Para que , a constante precisaria ser zero, ou seja, .

Passo 4

No entanto, o enunciado não nos dá nenhuma informação sobre os valores de ou em nenhum ponto específico do intervalo . Sem saber o valor de , não podemos afirmar que . Portanto, as funções e podem, de fato, diferir por uma constante diferente de zero.

Resposta

Falso. Embora e tenham derivadas iguais, elas podem diferir por uma constante. Não podemos concluir que em todo sem mais informações.

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Use a regra da cadeia para encontrar .
y^{\prime}=-\frac{y \cos (x y)}{x \cos (x y)-1}
]
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo. Justifique sua resposta. (valor:
(a) 0,5 ponto, (b), © e (d) 1,0 ponto.)
(b) .
Calcule as seguintes integrais:
(b)