Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
,
é a região triangular fechada fechada com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
dentro do conjunto
, que é uma região triangular formada pelos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função tem pontos críticos dentro da região
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E em relação a
:
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto
está dentro da região triangular
. Vamos analisar as coordenadas:
está entre 1 e 5, e
está entre 0 e 4, então o ponto está dentro do triângulo.
Passo 4
Vamos calcular o valor de
nesse ponto crítico:
Passo 5
Além do ponto interno, precisamos verificar os valores de
nas arestas do triângulo
para encontrar os máximos e mínimos absolutos.
Primeiro, consideramos a aresta entre
e
. Nessa aresta,
. A função reduz para:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a
:
Calculamos
Também avaliamos nos pontos finais:
Também avaliamos nos pontos finais:
Passo 6
Agora, consideramos a aresta entre
e
. Vamos parametrizar essa aresta. A inclinação da linha que passa por esses pontos é:
A equação da reta é:
Substituímos na função
:
Simplificando:
Derivamos em relação a
:
Calculamos
Também avaliamos nos pontos finais:
Também avaliamos nos pontos finais:
Passo 7
Por último, analisamos a aresta entre
e
. Nessa aresta,
. A função reduz para:
Derivamos em relação a
:
Calculamos
Também avaliamos nos pontos finais:
Também avaliamos nos pontos finais:
Resposta
O valor máximo absoluto de
no conjunto
é 13 no ponto
e o valor mínimo absoluto é -5 no ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
Ache os valores de
e
que façam
diferenciável.
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de
nos pontos dados:
a) no ponto
b) no ponto
c) no ponto
d) no ponto
a)
b)
c)
d)
Calcule as seguintes integrais:
b)
b)
Verifique, usando integração por partes:
a)
a)