Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto . , é a região triangular fechada fechada com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro do conjunto , que é uma região triangular formada pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função tem pontos críticos dentro da região . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E em relação a :
Igualando a zero:
Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região triangular . Vamos analisar as coordenadas: está entre 1 e 5, e está entre 0 e 4, então o ponto está dentro do triângulo.

Passo 4

Vamos calcular o valor de nesse ponto crítico:

Passo 5

Além do ponto interno, precisamos verificar os valores de nas arestas do triângulo para encontrar os máximos e mínimos absolutos.
Primeiro, consideramos a aresta entre e . Nessa aresta, . A função reduz para:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a :
Calculamos
Também avaliamos nos pontos finais:

Passo 6

Agora, consideramos a aresta entre e . Vamos parametrizar essa aresta. A inclinação da linha que passa por esses pontos é:
A equação da reta é:
Substituímos na função :
Simplificando:
Derivamos em relação a :
Calculamos
Também avaliamos nos pontos finais:
á

Passo 7

Por último, analisamos a aresta entre e . Nessa aresta, . A função reduz para:
Derivamos em relação a :
Calculamos
Também avaliamos nos pontos finais:
á
á

Resposta

O valor máximo absoluto de no conjunto é 13 no ponto e o valor mínimo absoluto é -5 no ponto .

Exercícios relacionados

Seja
Ache os valores de e que façam diferenciável.
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de nos pontos dados:
a) no ponto
b) no ponto
c) no ponto
d) no ponto
Calcule as seguintes integrais:
b)
Verifique, usando integração por partes:
a)