Seja
f(x) = { x^2, se x <= 2; mx + b, se x > 2 }
Ache os valores de m e b que façam f diferenciável.
R: m=4, b=-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função que tem duas partes diferentes: uma para valores de menores ou iguais a 2 e outra para valores maiores que 2. A gente precisa encontrar os valores de e para que essa função seja diferenciável. Isso significa que não só a função precisa ser contínua nesse ponto (não ter “saltos”), mas também as suas derivadas nas laterais desse ponto devem ser iguais. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, os valores das duas partes da função devem se encontrar quando .
Para :
Para :
Como a função deve ser contínua, esses dois valores devem ser iguais:
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja diferenciável em . Para isso, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais nesse ponto.
Primeiro, calculamos a derivada de cada parte:
Para :
Então, a derivada pela esquerda em é:
Para :
Então, a derivada pela direita em é:
Como as derivadas devem ser iguais:
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 4

Agora que já sabemos que , podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores que fazem a função diferenciável são e .

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