Seja
Ache os valores de
e
que façam
diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função
que tem duas partes diferentes: uma para valores de
menores ou iguais a 2 e outra para valores maiores que 2. A gente precisa encontrar os valores de
e
para que essa função seja diferenciável. Isso significa que não só a função precisa ser contínua nesse ponto (não ter “saltos”), mas também as suas derivadas nas laterais desse ponto devem ser iguais. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, os valores das duas partes da função devem se encontrar quando
.
Para
:
Para
:
Como a função deve ser contínua, esses dois valores devem ser iguais:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja diferenciável em
. Para isso, as derivadas das duas partes da função devem ser iguais nesse ponto.
Primeiro, calculamos a derivada de cada parte:
Para
:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Para
:
Então, a derivada pela direita em
é:
Como as derivadas devem ser iguais:
Essa é a nossa segunda equação.
Passo 4
Agora que já sabemos que
, podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar
:
Resposta
Os valores que fazem a função
diferenciável são
e
.