Determine os limites se existirem:
(l) lim x 0 e^5 x-13 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente lidando com limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função exponencial se comporta perto de zero e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função exponencial e^5x = 1 + 5x + (5x)^22! + (5x)^33! + dots . A função exponencial pode ser expandida em uma série de potências (como uma soma infinita de termos) perto de . A expansão de é:
Aqui, significa “2 fatorial”, que é , e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão no numerador da fração original:
e^5x - 1 = (1 + 5x + 25x^22 + 125x^36 + dots) - 1
Simplificando, os termos “1” se cancelam:
e^5x - 1 = 5x + 25x^22 + 125x^36 + dots

Passo 4

Substituímos essa expressão de volta na fração original:
e^5x - 13x = 5x + 25x^22 + 125x^36 + dots3x
Podemos dividir cada termo do numerador por 5x3x + 25x^26x + 125x^318x + dots = 53 + 25x6 + 125x^218 + dots :

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando limx 0 ( 53 + 25x6 + 125x^218 + dots ) = 53 + 0 + 0 + dots = 53 se aproxima de 0. Os termos que contêm vão se tornar muito pequenos e, na verdade, vão para zero:

Resposta

limx 0 e^5x-13x = 53

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