Sejam e dois conjuntos do . Prove que se e forem abertos, então e também o serão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se dois conjuntos e no plano são abertos, então a união e a interseção desses conjuntos também são abertos. Vamos usar conceitos de topologia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser aberto. Em , um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, dá para desenhar um pequeno “balão” ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto. Isso garante que não há “bordas fechadas” no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos provar que a união é aberta. Pense na união como juntar todos os pontos que estão em ou em . Como e são abertos, para qualquer ponto em ou em , existe um “balão” que fica completamente dentro de ou dentro de , respectivamente. Então, esse “balão” também estará dentro de , mostrando que a união é aberta.

Passo 4

Em seguida, vamos mostrar que a interseção é aberta. A interseção contém todos os pontos que estão simultaneamente em e em . Como e são abertos, para qualquer ponto em , existem “balões” que ficam dentro de e dentro de . A interseção desses “balões” também será um “balão” que fica dentro de , garantindo que a interseção é aberta.

Resposta

Assim, provamos que tanto a união quanto a interseção de dois conjuntos abertos em também são abertos.

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