(1,5) Calcule as seguintes integrais:
(b) integral0^1 integralx^2 x integral0^x+y z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral0^1 integralx^2x integral0^x+y z , dz , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável , depois e por último .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x+y z , dz . A integral interna é:
integral z , dz = z^22 + C
A regra básica para integrar z^22 |0^x+y = (x+y)^22 - 0^22 = (x+y)^22 é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Agora, aplicamos os limites de integração:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral média, ficando assim:
integral0^1 integralx^2x (x+y)^22 , dy , dx
Vamos simplificar tirando o fator 12 integral0^1 integralx^2x (x+y)^2 , dy , dx para deixar a expressão mais fácil de trabalhar:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 . Primeiro, expandimos 12 integral0^1 integralx^2x ( x^2 + 2xy + y^2 ) dy , dx :
12 integral0^1 [ x^2 y + x y^2 + y^33 ]y=x^y=2x , dx
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Aplicamos os limites de x^2 (2x) + x (2x)^2 + (2x)^33 = 2x^3 + 4x^3 + 8x^33 = ( 2 + 4 + 83 ) x^3 = 263 x^3 :
Para x^2 (x) + x (x)^2 + (x)^33 = x^3 + x^3 + x^33 = ( 1 + 1 + 13 ) x^3 = 73 x^3 :
263 x^3 - 73 x^3 = 193 x^3
Para :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
12 integral0^1 193 x^3 , dx = 196 integral0^1 x^3 , dx
Integrando integral x^3 , dx = x^44 + C :
196 x^44 |0^1 = 196 ( 14 - 0 ) = 1924
Aplicando os limites:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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