Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável , depois e por último .
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral interna é:
A regra básica para integrar é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 3
Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral média, ficando assim:
integral0^1 integralx^2x (x+y)^22 , dy , dx
Vamos simplificar tirando o fator 12 integral0^1 integralx^2x (x+y)^2 , dy , dx para deixar a expressão mais fácil de trabalhar:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 . Primeiro, expandimos 12 integral0^1 integralx^2x ( x^2 + 2xy + y^2 ) dy , dx :
12 integral0^1 [ x^2 y + x y^2 + y^33 ]y=x^y=2x , dx
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Aplicamos os limites de x^2 (2x) + x (2x)^2 + (2x)^33 = 2x^3 + 4x^3 + 8x^33 = ( 2 + 4 + 83 ) x^3 = 263 x^3 :