Calcule as seguintes integrais:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla . Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, que envolvem duas variáveis, e . Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para integrar em relação a , podemos usar a técnica de integração por substituição. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso simplifica a integral:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a de a :

Passo 6

Para integrar , usamos a substituição novamente. Seja , então ou . A integral se transforma em:

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de a :
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Calcule as seguintes integrais:
(b)
Seja .
.