(1,5) Calcule as seguintes integrais:
(a) integral0^2 integral0^pi / 2 x cos (x y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral dupla . Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, que envolvem duas variáveis, e . Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Para integrar integral x cos(x y) , dy = integral cos(u) , du = sin(u) + C = sin(x y) + C em relação a , podemos usar a técnica de integração por substituição. Vamos definir . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso simplifica a integral:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de sin(x y) |0^pi/2 = sin(x cdot pi2) - sin(0) = sin(pi x2) a :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral0^2 sin(pi x2) , dx de a :

Passo 6

Para integrar integral sin(u) cdot 2pi , du = -2pi cos(u) + C = -2pi cos(pi x2) + C , usamos a substituição novamente. Seja , então ou . A integral se transforma em:

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de -2pi cos(pi x2) |0^2 = -2pi cos(pi) + 2pi cos(0) a -2pi (-1) + 2pi (1) = 2pi + 2pi = 4pi :
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados