Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para analisar a sequência
definida por
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de sequências e limites de sequências. Para resolver, precisamos entender como os expoentes e raízes afetam o comportamento da sequência conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que seja mais fácil de analisar. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, podemos usar o fato que
tende a 1 à medida que
cresce. Isso porque a raiz n-ésima de
se aproxima de 1.
Passo 4
Aplicando isso à nossa sequência, temos
. Já que
tende a 1, então
também tende a
.
Passo 5
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é 1. Isso significa que a sequência converge e o seu limite é 1.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 1.
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(a)
(b)