Seja .
Com quais valores de a curva de nível contém pelo menos um ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores de a curva de nível tem pelo menos um ponto. Estamos lidando com funções exponenciais aqui, especificamente . Vamos precisar entender como as curvas de nível funcionam e as propriedades da função exponencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curva de nível é o conjunto de pontos no plano que satisfazem a equação . No nosso caso, isso fica:
Queremos saber para quais valores de essa equação tem pelo menos uma solução.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para . Sabemos que a função exponencial sempre é positiva, ou seja, para qualquer valor de e , o resultado será maior que zero:
Isso significa que também precisa ser maior que zero para que a equação tenha solução.

Passo 4

Portanto, para que exista pelo menos um ponto que satisfaça , deve ser um número positivo.

Resposta

Os valores de devem ser maiores que zero, ou seja, .

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Seja .
.
Calcule as seguintes integrais:
(b)
Sejam e . Determine:
.
Seja . Determine uma equação da curva de nível que passa pelo ponto:
;