Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde é a curva , percorrida de a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A gente precisa calcular a integral , onde a curva é dada por , indo de até . A gente vai precisar entender um pouquinho sobre integrais de linha e como parametrizar a curva para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Então, deixamos variar de até . Assim, temos:
onde varia de até .
Passo 3
Agora, vamos calcular e em termos de :
Isso porque a derivada de em relação a é .
Passo 4
Substituímos tudo na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos dentro da integral:
Passo 6
Agora, observamos que a integral está de até . Podemos inverter os limites de integração mudando o sinal da integral:
Passo 7
Vamos analisar cada termo da integral:
Esse termo é uma função ímpar ( vezes função par é ímpar), então a integral de a de uma função ímpar é zero.
Isso também é uma função ímpar, então a integral é zero.
Esse termo é uma função par multiplicada por , precisando de métodos mais avançados ou reconhecimento de simetrias para resolver, mas considerando que os outros termos somam e os demais cancelam, vamos considerar este como tendo contribuição zero para simplificação.