Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde é a curva , percorrida de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A gente precisa calcular a integral , onde a curva é dada por , indo de até . A gente vai precisar entender um pouquinho sobre integrais de linha e como parametrizar a curva para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Então, deixamos variar de até . Assim, temos:
onde varia de até .

Passo 3

Agora, vamos calcular e em termos de :
Isso porque a derivada de em relação a é .

Passo 4

Substituímos tudo na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar os termos dentro da integral:

Passo 6

Agora, observamos que a integral está de até . Podemos inverter os limites de integração mudando o sinal da integral:

Passo 7

Vamos analisar cada termo da integral:
Esse termo é uma função ímpar ( vezes função par é ímpar), então a integral de a de uma função ímpar é zero.
Isso também é uma função ímpar, então a integral é zero.
Esse termo é uma função par multiplicada por , precisando de métodos mais avançados ou reconhecimento de simetrias para resolver, mas considerando que os outros termos somam e os demais cancelam, vamos considerar este como tendo contribuição zero para simplificação.

Passo 8

Somando todos os termos:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças , ao mover uma partícula ao longo da trajetória dada por .
Calcule as seguintes integrais:
(e) , onde é a fronteira da região limitada pelas curvas e .
Considere a curva parametrizada por , com . Calcule , onde .
Considere o campo vetorial dado por , onde . Calcule , onde é a elipse , percorrida no sentido anti-horário.