Calcule as seguintes integrais:
(e) ointC(y-x+arctan x) d x+(2 x-y+raiz1+y^2) d y, onde C é a fronteira da região limitada pelas curvas y=x+2 e y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada . A curva é delimitada pelas funções e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver essa integral. Vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral. Temos:
M(x, y) = y - x + arctan(x)
N(x, y) = 2x - y + raiz1 + y^2
A integral que precisamos calcular é:
ointC M, dx + N, dy

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região ointC M, dx + N, dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx, dy delimitada por . O Teorema de Green diz que:
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Npartial x = partialpartial x ( 2x - y + raiz1 + y^2 ) = 2
partial Mpartial y = partialpartial y ( y - x + arctan(x) ) = 1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD (2 - 1) dx, dy = integral duplaD 1, dx, dy

Passo 5

A integral dupla agora é simplesmente a área da região x + 2 = x^2 . Então, precisamos encontrar a área delimitada pelas curvas x^2 - x - 2 = 0 e x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas:
x = 2 ou x = -1
Então, as interseções ocorrem em e .

Passo 6

Para calcular a área A = integral-1^2 ( (x + 2) - x^2 ) dx , integramos a diferença das funções superiores e inferiores entre os limites de integração:
A = integral-1^2 (-x^2 + x + 2) dx

Passo 7

Calculando a integral:
A = [ -x^33 + x^22 + 2x ]-1^2
Primeiro, para -83 + 42 + 4 = -83 + 2 + 4 = -83 + 6 = 103 :
--13 + 12 - 2 = 13 + 12 - 2 = 56 - 2 = -76
Agora, para A = 103 - ( -76 ) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92 :
Subtraindo:

Resposta

A integral dada é igual a .

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