Calcule as seguintes integrais:
(e) , onde é a fronteira da região limitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada . A curva é delimitada pelas funções e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver essa integral. Vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral. Temos:
A integral que precisamos calcular é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região delimitada por . O Teorema de Green diz que:
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

A integral dupla agora é simplesmente a área da região . Então, precisamos encontrar a área delimitada pelas curvas e .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas:
Então, as interseções ocorrem em e .

Passo 6

Para calcular a área , integramos a diferença das funções superiores e inferiores entre os limites de integração:

Passo 7

Calculando a integral:
Primeiro, para :
Agora, para :
Subtraindo:

Resposta

A integral dada é igual a .

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Calcule as seguintes integrais:
(d) onde é o arco de parábola , orientado
de a .
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Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde é a curva , percorrida de a .