Calcule as seguintes integrais:
(e)
, onde
é a fronteira da região limitada pelas curvas
e
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada
. A curva
é delimitada pelas funções
e
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver essa integral. Vamos precisar entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral. Temos:
A integral que precisamos calcular é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. O Teorema de Green diz que:
Isso simplifica nosso trabalho, pois agora precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
A integral dupla agora é simplesmente a área da região
. Então, precisamos encontrar a área delimitada pelas curvas
e
.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas:
Então, as interseções ocorrem em
e
.
Passo 6
Para calcular a área
, integramos a diferença das funções superiores e inferiores entre os limites de integração:
Passo 7
Calculando a integral:
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral dada é igual a
.