Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
, ao mover uma partícula ao longo da trajetória
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de forças
ao mover uma partícula ao longo de uma trajetória
. Aqui, o campo de forças é dado por:
E a trajetória
é parametrizada por:
Vamos precisar usar o conceito de trabalho de um campo de forças ao longo de uma curva, que envolve calcular a integral de linha dessa força ao longo da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
realizado por um campo de forças
ao longo de uma curva
parametrizada por
de
até
é dado por:
Aqui,
é a derivada da posição em relação a
, ou seja, a velocidade ao longo da curva.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na função
:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral que representa o trabalho:
Passo 7
Essa integral pode ser simplificada, mas para fins de cálculo, geralmente utilizamos métodos numéricos ou software de cálculo simbólico. Porém, observando a complexidade da expressão, vamos tentar identificar se o campo
é conservativo, o que simplificaria o cálculo.
Passo 8
Para verificar se
é conservativo, precisamos ver se existe uma função potencial
tal que:
Além disso, para campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho.
Passo 9
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
não é conservativo. Portanto, precisamos calcular a integral de linha completa.
Passo 10
Devido à complexidade da integral, recomendaria o uso de ferramentas computacionais para obter o valor numérico do trabalho
. Entretanto, sabendo que o trabalho depende da parametrização e do campo, a integral que montamos no Passo 6 é a expressão correta para ser avaliada.
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula ao longo da trajetória
é dado pela integral:
Para obter o valor numérico exato, é recomendado utilizar métodos de integração numérica ou software de cálculo simbólico.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
(e) , onde
é a fronteira da região limitada pelas curvas
e
.
(e)
Seja
de classe
, tal que
. Considere o campo
. Calcule
, onde
é a curva formada por
e
.
Calcule as seguintes integrais:
(b) , onde
é a curva
, percorrida de
a
.
(b)
Considere a curva
parametrizada por
, com
. Calcule
, onde
.