(3 pts) Esboce o gráfico da funçâo
e determine seu dominio e imagem.
Passo 1
Então, a gente tem que esboçar o gráfico da função
e determinar o domínio e a imagem dela. Isso envolve conhecimentos de funções quadráticas, como encontrar o vértice, concavidade e entender o que representam domínio e imagem. Vamos precisar usar fórmulas básicas de funções do segundo grau para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como
é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Ou seja, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a concavidade da parábola. Olhando para o coeficiente de
, que é 1 (positivo), sabemos que a parábola é côncava para cima. Isso significa que a função tem um ponto mínimo.
Passo 4
Para encontrar o vértice da parábola, usamos a fórmula
, onde
e
:
Agora, substituímos
na função para encontrar a coordenada
:
Então, o vértice é
.
Passo 5
Com o vértice e a concavidade definida, podemos esboçar o gráfico da função. A parábola tem um ponto mínimo em
e se abre para cima.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como a parábola é côncava para cima e o ponto mínimo é
, a imagem será todos os valores maiores ou iguais a esse mínimo:
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais). - Imagem:
. - Gráfico: Uma parábola com vértice em
e concavidade para cima.
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a)
b)
b)
Calcule as seguintes integrais:
c)
c)
Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências