(3 pts) Esboce o gráfico da funçâo e determine seu dominio e imagem.

Passo 1

Então, a gente tem que esboçar o gráfico da função e determinar o domínio e a imagem dela. Isso envolve conhecimentos de funções quadráticas, como encontrar o vértice, concavidade e entender o que representam domínio e imagem. Vamos precisar usar fórmulas básicas de funções do segundo grau para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como é um polinômio, ele está definido para todos os números reais. Ou seja, o domínio é:
í

Passo 3

Agora, vamos determinar a concavidade da parábola. Olhando para o coeficiente de , que é 1 (positivo), sabemos que a parábola é côncava para cima. Isso significa que a função tem um ponto mínimo.

Passo 4

Para encontrar o vértice da parábola, usamos a fórmula , onde e :
Agora, substituímos na função para encontrar a coordenada :
Então, o vértice é .

Passo 5

Com o vértice e a concavidade definida, podemos esboçar o gráfico da função. A parábola tem um ponto mínimo em e se abre para cima.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como a parábola é côncava para cima e o ponto mínimo é , a imagem será todos os valores maiores ou iguais a esse mínimo:

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais).
  • Imagem: .
  • Gráfico: Uma parábola com vértice em e concavidade para cima.

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a)
b)
Calcule as seguintes integrais:
c)
pts) Se e encontre e seu dominio.
Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências