Calcule as seguintes integrais complexas:
(f)
, onde
é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária;
Resposta:
(f)
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo de uma circunferência. O enunciado é:
onde
é uma circunferência centrada na origem (0) com raio 2, e a orientação é anti-horária. Vamos usar conceitos de Análise Complexa, especialmente o Teorema de Cauchy, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando, que é
. Essa função é um polinômio, e polinômios são funções holomorfas em todo o plano complexo, ou seja, não possuem singularidades (pontos onde a função não é definida).
Passo 3
Como não há singularidades dentro da circunferência
(já que a função é holomorfa em todo lugar), podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que nos diz que a integral de uma função holomorfa ao longo de uma curva fechada é zero.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Cauchy diretamente, concluímos que:
Resposta
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Sejam
conjuntos. Mostre que
Calcule as seguintes integrais complexas:
(e) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta:
(e)
Resposta:
Sejam
conjuntos. Mostre que
Sejam
e
funções que satisfazem
. Se
calcule
.