Calcule as seguintes integrais complexas:
(f) , onde é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária;
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa ao longo de uma circunferência. O enunciado é:
onde é uma circunferência centrada na origem (0) com raio 2, e a orientação é anti-horária. Vamos usar conceitos de Análise Complexa, especialmente o Teorema de Cauchy, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando, que é . Essa função é um polinômio, e polinômios são funções holomorfas em todo o plano complexo, ou seja, não possuem singularidades (pontos onde a função não é definida).

Passo 3

Como não há singularidades dentro da circunferência (já que a função é holomorfa em todo lugar), podemos aplicar o Teorema de Cauchy, que nos diz que a integral de uma função holomorfa ao longo de uma curva fechada é zero.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Cauchy diretamente, concluímos que:

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam conjuntos. Mostre que
Calcule as seguintes integrais complexas:
(e) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta:
Sejam conjuntos. Mostre que
Sejam e funções que satisfazem . Se
calcule .