Sejam
e
funções que satisfazem
. Se
calcule
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular
, onde
. Aqui, estamos lidando com derivadas de funções compostas e produtos. Precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar essa derivada.
Passo 2
Primeiro, identificamos que
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto de funções, usamos a regra do produto:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos derivar
:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
. Primeiro, escrevemos
como
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia:
Aqui,
:
Então,
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Passo 6
Substituímos
nas funções e derivadas fornecidas:
Então:
Passo 7
Calculamos as raízes e simplificamos:
Então:
Passo 8
Somamos os termos:
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
conjuntos. Mostre que
Calcule as seguintes integrais complexas:
(f) , onde
é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária;
Resposta:
(f)
Resposta:
Uma xícara de café quente irá, com o tempo, esfriar até a temperatura ambiente. O princípio da física que rege o processo é a Lei do Resfriamento de Newton. Essa situação pode ser traduzida na seguinte equação diferencial
onde
é a temperatura do objeto no tempo
e
é a temperatura ambiente. Assumindo que a temperatura ambiente é de
. Depois de 1 min que o café ficou pronto, a temperatura do café é de
. O que você pode dizer sobre a taxa de variação da temperatura do café depois de 1 min ? Use a reta tangente no ponto
para fazer uma estimativa da temperatura do café depois de 2 min que ele ficou pronto.
Sejam
conjuntos. Mostre que
, então
.