Sejam
conjuntos. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a união dos conjuntos
,
e
é associativa. Ou seja, queremos provar que
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de união de conjuntos e a definição de conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A união de dois conjuntos, representada pelo símbolo
, contém todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Então,
inclui todos os elementos que estão em
ou em
, e então
inclui todos os elementos que estão em
, em
ou em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Similarmente,
contém todos os elementos que estão em
ou em
, e então
inclui todos os elementos que estão em
, em
ou em
.
Passo 4
Para provar que
, vamos mostrar que qualquer elemento que está em um lado da igualdade está também no outro lado, e vice-versa.
Passo 5
Primeiro, tomemos um elemento qualquer
que está em
. Isso significa que
está em
ou em
. Se
está em
, então certamente está em
, e assim está em
. Se
está em
, então está em
ou em
, o que também coloca
em
. Portanto, todo
em
está em
.
Passo 6
Segundo, vamos pegar um elemento
que está em
. Isso significa que
está em
ou em
. Se
está em
, então está em
ou em
, o que coloca
em
. Se
está em
, então também está em
, e assim em
. Logo, todo
em
está em
.
Resposta
Concluímos que
. A união de conjuntos é, de fato, associativa!