Sejam A, B, C, A', B' conjuntos. Mostre que A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a união dos conjuntos A, B e C é associativa. Ou seja, queremos provar que . Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de união de conjuntos e a definição de conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A união de dois conjuntos, representada pelo símbolo , contém todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. Então, B u C inclui todos os elementos que estão em B ou em C, e então inclui todos os elementos que estão em A, em B ou em C.

Passo 3

Agora, vamos analisar . Similarmente, A ∪ B contém todos os elementos que estão em A ou em B, e então inclui todos os elementos que estão em A, em B ou em C.

Passo 4

Para provar que , vamos mostrar que qualquer elemento que está em um lado da igualdade está também no outro lado, e vice-versa.

Passo 5

Primeiro, tomemos um elemento qualquer x que está em . Isso significa que x está em A ou em B u C. Se x está em A, então certamente está em A ∪ B, e assim está em . Se x está em B u C, então está em B ou em C, o que também coloca x em . Portanto, todo x em está em .

Passo 6

Segundo, vamos pegar um elemento x que está em . Isso significa que x está em A ∪ B ou em C. Se x está em A ∪ B, então está em A ou em B, o que coloca x em . Se x está em C, então também está em B u C, e assim em . Logo, todo x em está em .

Resposta

Concluímos que . A união de conjuntos é, de fato, associativa!

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