Sejam
conjuntos. Mostre que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que
. Esse problema está relacionado com teoria dos conjuntos, especificamente com a associatividade da interseção. Para resolver, vamos precisar entender o que significa a interseção de conjuntos e como a propriedade associativa funciona nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a interseção de conjuntos. A interseção de dois conjuntos, digamos
e
, é o conjunto de todos os elementos que estão simultaneamente em
e em
. Isso é representado por
.
Passo 3
Agora, vamos entender a associatividade. Uma operação é associativa se a maneira como agrupamos os elementos não altera o resultado. No caso da interseção, queremos mostrar que a forma de agrupar três conjuntos não muda a interseção total.
Passo 4
Vamos começar analisando o lado esquerdo da igualdade:
. Isso significa que primeiro encontramos a interseção de
e
, e depois encontramos a interseção desse resultado com
.
Passo 5
De forma semelhante, o lado direito da igualdade é
. Aqui, primeiro encontramos a interseção de
e
, e depois intersecionamos esse resultado com
.
Passo 6
Para provar que
, vamos mostrar que qualquer elemento que esteja em um lado está no outro e vice-versa.
Passo 7
Primeiro, suponha que um elemento
está em
. Isso significa que:
-
está em -
está em , ou seja, está em e está em
Então,
está em
, em
e em
. Logo,
está em
e, consequentemente, em
.
Passo 8
Segundo, suponha que
está em
. Isso significa que:
-
está em , ou seja, está em e está em -
está em
Portanto,
está em
, em
e em
. Assim,
está em
e, consequentemente, em
.
Resposta
Como mostramos que qualquer elemento que está em
está em
e vice-versa, concluímos que
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais complexas:
(e) , onde
é a circunferência centrada em
e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta:
(e)
Resposta:
Sejam
conjuntos. Mostre que
se, e somente se,
.
Calcule as seguintes integrais complexas:
(f) , onde
é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária;
Resposta:
(f)
Resposta:
Sejam
conjuntos. Mostre que