Sejam conjuntos. Mostre que

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que . Esse problema está relacionado com teoria dos conjuntos, especificamente com a associatividade da interseção. Para resolver, vamos precisar entender o que significa a interseção de conjuntos e como a propriedade associativa funciona nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a interseção de conjuntos. A interseção de dois conjuntos, digamos e , é o conjunto de todos os elementos que estão simultaneamente em e em . Isso é representado por .

Passo 3

Agora, vamos entender a associatividade. Uma operação é associativa se a maneira como agrupamos os elementos não altera o resultado. No caso da interseção, queremos mostrar que a forma de agrupar três conjuntos não muda a interseção total.

Passo 4

Vamos começar analisando o lado esquerdo da igualdade: . Isso significa que primeiro encontramos a interseção de e , e depois encontramos a interseção desse resultado com .

Passo 5

De forma semelhante, o lado direito da igualdade é . Aqui, primeiro encontramos a interseção de e , e depois intersecionamos esse resultado com .

Passo 6

Para provar que , vamos mostrar que qualquer elemento que esteja em um lado está no outro e vice-versa.

Passo 7

Primeiro, suponha que um elemento está em . Isso significa que:
  • está em
  • está em , ou seja, está em e está em
Então, está em , em e em . Logo, está em e, consequentemente, em .

Passo 8

Segundo, suponha que está em . Isso significa que:
  • está em , ou seja, está em e está em
  • está em
Portanto, está em , em e em . Assim, está em e, consequentemente, em .

Resposta

Como mostramos que qualquer elemento que está em está em e vice-versa, concluímos que .

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Calcule as seguintes integrais complexas:
(e) , onde é a circunferência centrada em e raio 3 , com orientação anti-horária
Resposta:
Sejam conjuntos. Mostre que se, e somente se, .
Calcule as seguintes integrais complexas:
(f) , onde é a circunferência centrada em 0 e raio 2 , com orientação anti-horária;
Resposta:
Sejam conjuntos. Mostre que