Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente envolvendo gráficos de superfícies no espaço 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender que tipo de superfície essa função representa e identificar alguns pontos chave que vão ajudar a desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela está na forma de uma função linear, ou seja, representa um plano no espaço tridimensional. Para esboçar esse plano, é útil encontrar onde ele intercepta os eixos coordenados.
Passo 3
Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo
: Para isso, fazemos e .
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
- Intercepto com o eixo
: Fazemos e .
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
- Intercepto com o eixo
: Aqui, fazemos e .
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
Passo 4
Agora que temos os três interceptos, podemos usar esses pontos para desenhar o plano. Imagine um 3D cartesian coordinate system (
,
,
):
- Marque o ponto
no eixo . - Marque o ponto
no eixo . - Marque o ponto
no eixo .
Conectando esses três pontos, teremos o esboço do plano que representa a função
.
Resposta
O gráfico de
é um plano inclinado que intercepta o eixo
no ponto
, o eixo
no ponto
e o eixo
no ponto
. Ao conectar esses pontos no espaço 3D, formamos o esboço do plano desejado.
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Use a Regra da Cadeia para achar
ou
Calcule as seguintes integrais:
(d)
(d)
Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(b)
(b)
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(b)
(b)