Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente envolvendo gráficos de superfícies no espaço 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender que tipo de superfície essa função representa e identificar alguns pontos chave que vão ajudar a desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela está na forma de uma função linear, ou seja, representa um plano no espaço tridimensional. Para esboçar esse plano, é útil encontrar onde ele intercepta os eixos coordenados.

Passo 3

Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo : Para isso, fazemos e .
Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
  • Intercepto com o eixo : Fazemos e .
Então, o intercepto com o eixo é o ponto .
  • Intercepto com o eixo : Aqui, fazemos e .
Então, o intercepto com o eixo é o ponto .

Passo 4

Agora que temos os três interceptos, podemos usar esses pontos para desenhar o plano. Imagine um 3D cartesian coordinate system ( , , ):
  1. Marque o ponto no eixo .
  2. Marque o ponto no eixo .
  3. Marque o ponto no eixo .
Conectando esses três pontos, teremos o esboço do plano que representa a função .

Resposta

O gráfico de é um plano inclinado que intercepta o eixo no ponto , o eixo no ponto e o eixo no ponto . Ao conectar esses pontos no espaço 3D, formamos o esboço do plano desejado.

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Calcule as seguintes integrais:
(d)
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(b)
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(b)