Encontre usando as propriedades e a tabela de Transformadas de Laplace. Observação: descreva quais propriedades foram usadas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar sua Transformada de Laplace, . Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade da Transformada de Laplace e a tabela de transformadas básicas.

Passo 2

A Transformada de Laplace é uma ferramenta que transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência . Ela é definida por:
Uma das propriedades importantes que vamos usar é a linearidade, que nos permite separar a transformada de uma soma em uma soma das transformadas:

Passo 3

Vamos aplicar a propriedade da linearidade à nossa função:
Agora, vamos calcular cada uma dessas transformadas individualmente usando a tabela de Transformadas de Laplace.

Passo 4

Primeiro, calculamos . Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos para . A transformada de é:
Aqui, , então:

Passo 6

Em seguida, calculamos . A transformada de é:
Portanto:
Multiplicando pelo coeficiente:

Passo 7

Por último, calculamos . A transformada de é:
Então:
Multiplicando pelo coeficiente:

Resposta

Juntando todas as partes, a Transformada de Laplace é:

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Calcule as seguintes integrais:
d)