integral 19-x^2 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral de em relação a . Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Sabemos que pode ser escrito como .

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1(3 + x)(3 - x) = A3 + x + B3 - x em frações parciais. Isso significa que podemos escrever:
onde e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(3 - x) + B(3 + x) para eliminar os denominadores, temos:

Passo 5

Para encontrar os valores de 1 = A(3 - 3) + B(3 + 3) Rightarrow 1 = 6B Rightarrow B = 16 e 1 = A(3 - (-3)) + B(3 + (-3)) Rightarrow 1 = 6A Rightarrow A = 16 , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Substituindo os valores de 19 - x^2 = 163 + x + 163 - x e na decomposição das frações parciais, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 19 - x^2 , dx = 16 integral 13 + x , dx + 16 integral 13 - x , dx

Passo 8

As integrais são:
16 ln|3 + x| - 16 ln|3 - x| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

16 ln|3 + x3 - x| + C

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