Sejam o campo
e
a superfície parte do cilindro
compreendida entre os planos
e
com o vetor normal apontado para fora do cilindro. Determine o fluxo de
sobre
utilizando: b) O Teorema de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma superfície
que é parte de um cilindro definido por
, entre os planos
e
. O vetor normal está apontando para fora do cilindro. A missão aqui é encontrar o fluxo desse campo vetorial através da superfície
usando o Teorema de Gauss.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), calcular a divergência do campo vetorial
e integrar essa divergência sobre o volume delimitado pela superfície
e os planos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o Teorema de Gauss. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde:
-
é o vetor normal à superfície . -
é a divergência de . -
é o elemento de área na superfície. -
é o elemento de volume.
Passo 3
Antes de aplicar o teorema, precisamos garantir que a superfície seja fechada. No nosso caso, temos apenas a parte lateral do cilindro entre
e
. Para fechar a superfície, precisamos adicionar as bases superior e inferior do cilindro. Vamos chamar a base inferior de
(no plano
) e a base superior de
(no plano
). Assim, a superfície fechada completa será
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Portanto, a divergência é:
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume
dentro do cilindro
entre
e
. É mais fácil fazer isso usando coordenadas cilíndricas, onde:
-
-
-
- O elemento de volume é
Os limites serão:
-
de a (já que implica ) -
de a -
de a
Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Agora, efetuamos a integração tripla:
Vamos integrar termo a termo:
- Termo
:
A integral em
resulta em multiplicar por
:
A integral em
de
de
a
é zero.
- Termo
:
Integrando em
:
A integral de
de
a
é
:
- Termo
:
Integrando em
:
Passo 7
Agora, somamos os três resultados:
Esse é o fluxo total através da superfície fechada
.
Passo 8
Lembrando que a pergunta pede o fluxo apenas através da superfície lateral
. Então, precisamos subtrair o fluxo através das bases
e
.
Vamos calcular os fluxos através das bases:
- Fluxo através de
(base inferior, ):
O vetor normal aponta para fora, que neste caso é para baixo, ou seja, na direção de
. O campo
em
é
. O produto escalar
.
Portanto, o fluxo através de
é
.
- Fluxo através de
(base superior, ):
O vetor normal aponta para fora, ou seja, na direção de
. O campo
em
é
. O produto escalar
.
Então, o fluxo através de
é:
Passo 9
Agora, voltamos ao Teorema de Gauss:
Sabendo que:
Substituindo os fluxos conhecidos:
Portanto:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.