Sejam o campo F(x, y, z) = (x^2 + cos(y * z), y^3, z) e S a superfície parte do cilindro x^2 + y^2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2 com o vetor normal apontado para fora do cilindro. Determine o fluxo de F sobre S utilizando: b) O Teorema de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um campo vetorial e uma superfície S que é parte de um cilindro definido por , entre os planos e . O vetor normal está apontando para fora do cilindro. A missão aqui é encontrar o fluxo desse campo vetorial através da superfície S usando o Teorema de Gauss.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência), calcular a divergência do campo vetorial F e integrar essa divergência sobre o volume delimitado pela superfície S e os planos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente o que é o Teorema de Gauss. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde:
  • n é o vetor normal à superfície S.
  • é a divergência de F.
  • é o elemento de área na superfície.
  • é o elemento de volume.

Passo 3

Antes de aplicar o teorema, precisamos garantir que a superfície seja fechada. No nosso caso, temos apenas a parte lateral do cilindro entre e . Para fechar a superfície, precisamos adicionar as bases superior e inferior do cilindro. Vamos chamar a base inferior de (no plano ) e a base superior de (no plano ). Assim, a superfície fechada completa será .

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada:
Portanto, a divergência é:

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume V dentro do cilindro entre e . É mais fácil fazer isso usando coordenadas cilíndricas, onde:
  • O elemento de volume é
Os limites serão:
  • r de 0 a (já que implica )
  • theta de 0 a
  • z de 0 a
Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas:

Passo 6

Agora, efetuamos a integração tripla:
Vamos integrar termo a termo:
  1. Termo :
A integral em z resulta em multiplicar por :
A integral em theta de de 0 a é zero.
  1. Termo :
Integrando em z:
A integral de de 0 a é pi:
  1. Termo :
Integrando em z:

Passo 7

Agora, somamos os três resultados:
Esse é o fluxo total através da superfície fechada .

Passo 8

Lembrando que a pergunta pede o fluxo apenas através da superfície lateral S. Então, precisamos subtrair o fluxo através das bases e .
Vamos calcular os fluxos através das bases:
  1. Fluxo através de (base inferior, ):
O vetor normal aponta para fora, que neste caso é para baixo, ou seja, na direção de . O campo F em é . O produto escalar .
Portanto, o fluxo através de é 0.
  1. Fluxo através de (base superior, ):
O vetor normal aponta para fora, ou seja, na direção de . O campo F em é . O produto escalar .
Então, o fluxo através de é:
Áí

Passo 9

Agora, voltamos ao Teorema de Gauss:
Sabendo que:
Substituindo os fluxos conhecidos:
Portanto:

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície S é .

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