Sejam o campo F(x, y, z) = (x^2 + cos(y * z), y^3, z) e S a superfície parte do cilindro x^2 + y^2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2 com o vetor normal apontado para fora do cilindro. Determine o fluxo de F sobre S utilizando: c) Determine o fluxo do rotacional.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma superfície S que é a parte lateral do cilindro , entre os planos z = 0 e z = 2. O objetivo é determinar o fluxo do rotacional de F sobre S.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo vetorial e o cálculo de fluxos através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o rotacional de F, que é denotado por nabla vezes F. O rotacional de um campo vetorial é dado pela seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
Portanto, o rotacional de F é:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fluxo do rotacional sobre a superfície S. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Onde n é o vetor normal à superfície S.
Como S é a superfície lateral do cilindro , podemos parametrizá-la usando coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Onde e .

Passo 4

Para encontrar o vetor normal n, observamos que a superfície lateral do cilindro tem como normal o vetor radial, que aponta para fora. Em coordenadas cilíndricas, o vetor normal é:
Agora, precisamos expressar o rotacional de F na parametrização do cilindro:

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Portanto, a integral do fluxo fica:
Onde é o raio do cilindro.

Passo 6

Substituindo na integral:
A integral em z é simples, pois a expressão não depende de z:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Para resolver a integral , fazemos uma substituição:
Seja , então .
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral. Observamos que:
Mas precisamos relacionar isso com nossa integral atual. Perceba que a presença de sugere uma integração por partes ou uma simetria que pode levar a integral ser nula.
De fato, por simetria, a função é ímpar em relação a , e sua integral no intervalo é zero.

Passo 8

Portanto, concluímos que:

Resposta

O fluxo do rotacional de F sobre a superfície S é igual a zero.

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