Sejam o campo
e
a superfície parte do cilindro
compreendida entre os planos
e
com o vetor normal apontado para fora do cilindro. Determine o fluxo de
sobre
utilizando: c) Determine o fluxo do rotacional.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma superfície
que é a parte lateral do cilindro
, entre os planos
e
. O objetivo é determinar o fluxo do rotacional de
sobre
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo vetorial e o cálculo de fluxos através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o rotacional de
, que é denotado por
. O rotacional de um campo vetorial
é dado pela seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Portanto, o rotacional de
é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o fluxo do rotacional sobre a superfície
. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Como
é a superfície lateral do cilindro
, podemos parametrizá-la usando coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Onde
e
.
Passo 4
Para encontrar o vetor normal
, observamos que a superfície lateral do cilindro tem como normal o vetor radial, que aponta para fora. Em coordenadas cilíndricas, o vetor normal é:
Agora, precisamos expressar o rotacional de
na parametrização do cilindro:
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Portanto, a integral do fluxo fica:
Onde
é o raio do cilindro.
Passo 6
Substituindo
na integral:
A integral em
é simples, pois a expressão não depende de
:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição:
Seja
, então
.
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral. Observamos que:
Mas precisamos relacionar isso com nossa integral atual. Perceba que a presença de
sugere uma integração por partes ou uma simetria que pode levar a integral ser nula.
De fato, por simetria, a função
é ímpar em relação a
, e sua integral no intervalo
é zero.
Passo 8
Portanto, concluímos que:
Resposta
O fluxo do rotacional de
sobre a superfície
é igual a zero.