O que significa cada uma das integrais a seguir?
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Passo 1
Beleza, temos aqui a integral
. Vamos explorar o que essa integral representa usando conceitos de cálculo, principalmente sobre integrais indefinidas e funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar
de
a
. Basicamente, estamos calculando a área total sob a curva da função
ao longo de todo o eixo
, de menos infinito a mais infinito.
Passo 3
Essa integral é conhecida como integral imprópria porque envolve limites infinitos. Para resolver, geralmente dividimos a integral em dois limites:
Passo 4
A interpretação dessa integral depende do contexto da função
:
-
Em Probabilidade: Se
for uma função densidade de probabilidade, então , garantindo que todas as probabilidades somem 1. -
Em Física: Pode representar uma quantidade total, como a energia total de um sistema.
-
Em Análise Matemática: Representa a convergência total da função, ou seja, se a integral é finita, a função é integrável sobre todo o eixo real.
Passo 5
Então, resumindo,
calcula a soma total das áreas positivas e negativas sob a curva de
em todo o eixo
. Dependendo de
, isso pode ter diferentes interpretações, como probabilidades totais, quantidades físicas totais, ou apenas uma medida de convergência da função.
Resposta
A integral
representa a área total sob a curva de
ao longo de todo o eixo
, sendo interpretada de acordo com o contexto, como a probabilidade total em distribuições de probabilidade ou a quantidade total em aplicações físicas.
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Calcule as seguintes integrais definidas
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Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(d)
(d)
Calcule as integrais impróprias.
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(a) se
é uma função crescente em
, então
é divergente?