Calcule as seguintes integrais definidas, deixando claro a resolução das mesmas:

Passo 1

Estamos com o desafio de calcular três integrais definidas:
Para resolver essas integrais, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, como a divisão da integral, substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeira Integral:
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
  1. Integrando :
  1. Integrando :
Agora, avaliamos as integrais definidas de 1 a 2:

Passo 3

Segunda Integral:
Para resolver essa integral, usamos uma substituição trigonométrica ou reconhecemos a forma padrão da integral:
Aqui, . Portanto:
Agora, avaliamos de 0 a :

Passo 4

Terceira Integral:
Para integrar o produto de e , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos a integral padrão:
Portanto:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

As integrais definidas calculadas são:

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Consideremos os sólidos e como sendo os sólidos gerados pela rotação da região inteiramente delimitada pelas curvas e , em torno do eixo e eixo , respectivamente. Encontre a região delimitada entre as curvas que geram os sólidos, e a posteriori, encontre o volume dos sólidos e .
Encontre e esboce a região R inteiramente delimitada pelas curvas e . Feito isso, determine a área da região .
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: