Calcule as seguintes integrais definidas, deixando claro a resolução das mesmas:
lll (1) integral1^2(1raizx+x^2) d x & (2) integral0^pi 1raiz4+x^2 (3) integral0^1 cos x e^x d x

Passo 1

Estamos com o desafio de calcular três integrais definidas:
Para resolver essas integrais, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, como a divisão da integral, substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeira Integral: integral1^2 1raizx dx + integral1^2 x^2 dx
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral 1raizx dx = integral x^-1/2 dx = 2x^1/2 + C = 2raizx + C
  1. Integrando integral x^2 dx = x^33 + C :
[2raizx]1^2 + [x^33]1^2 = (2raiz2 - 2raiz1) + (83 - 13)
  1. Integrando = 2raiz2 - 2 + 73 = 2raiz2 - 63 + 73 = 2raiz2 + 13 :
Agora, avaliamos as integrais definidas de 1 a 2:

Passo 3

Segunda Integral: integral 1raiza^2 + x^2 dx = ln|x + raizx^2 + a^2| + C
Para resolver essa integral, usamos uma substituição trigonométrica ou reconhecemos a forma padrão da integral:
integral 1raiz4 + x^2 dx = ln(x + raizx^2 + 4) + C
Aqui, ln(pi + raizpi^2 + 4) - ln(0 + raiz0 + 4) = ln(pi + raizpi^2 + 4) - ln(2) . Portanto:
Agora, avaliamos de 0 a :

Passo 4

Terceira Integral: integral e^x cos(x) dx = e^x (cos(x) + sin(x))2 + C
Para integrar o produto de integral cos(x) e^x dx = e^x (cos(x) + sin(x))2 + C e [e^x (cos(x) + sin(x))2]0^1 = e^1 (cos(1) + sin(1))2 - e^0 (cos(0) + sin(0))2 , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos a integral padrão:
= e (cos(1) + sin(1))2 - 1 (1 + 0)2 = e (cos(1) + sin(1)) - 12
Portanto:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

As integrais definidas calculadas são:

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