Consideremos os sólidos e como sendo os sólidos gerados pela rotação da região inteiramente delimitada pelas curvas e , em torno do eixo e eixo , respectivamente. Encontre a região delimitada entre as curvas que geram os sólidos, e a posteriori, encontre o volume dos sólidos e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a região delimitada pelas curvas e , e depois calcular os volumes dos sólidos e gerados pela rotação dessa região em torno dos eixos e , respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como interseção de curvas, área entre curvas e métodos de integração para volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar a região delimitada pelas curvas. Para entre 0 e , a curva está acima de . Portanto, a região de interesse está entre esses limites de , confinada pelas duas curvas.

Passo 4

Vamos calcular o volume gerado pela rotação da região em torno do eixo . Para isso, utilizamos o método dos discos (ou anéis). A fórmula para o volume é:
Onde e , e os limites de integração são de a .
Substituindo na fórmula:
Calculando a integral:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume gerado pela rotação da região em torno do eixo . Para isso, utilizamos o método dos cilindros (ou cascas). A fórmula para o volume é:
Onde , , e os limites de integração são de a .
Substituindo na fórmula:
Calculando a integral:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é e o volume do sólido é .

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