Consideremos os sólidos
e
como sendo os sólidos gerados pela rotação da região inteiramente delimitada pelas curvas
e
, em torno do eixo
e eixo
, respectivamente. Encontre a região delimitada entre as curvas que geram os sólidos, e a posteriori, encontre o volume dos sólidos
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a região delimitada pelas curvas
e
, e depois calcular os volumes dos sólidos
e
gerados pela rotação dessa região em torno dos eixos
e
, respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como interseção de curvas, área entre curvas e métodos de integração para volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar a região delimitada pelas curvas. Para
entre 0 e
, a curva
está acima de
. Portanto, a região de interesse está entre esses limites de
, confinada pelas duas curvas.
Passo 4
Vamos calcular o volume
gerado pela rotação da região em torno do eixo
. Para isso, utilizamos o método dos discos (ou anéis). A fórmula para o volume é:
Onde
e
, e os limites de integração são de
a
.
Substituindo na fórmula:
Calculando a integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume
gerado pela rotação da região em torno do eixo
. Para isso, utilizamos o método dos cilindros (ou cascas). A fórmula para o volume é:
Onde
,
, e os limites de integração são de
a
.
Substituindo na fórmula:
Calculando a integral:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido
é
e o volume do sólido
é
.
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Encontre e esboce a região R inteiramente delimitada pelas curvas
e
. Feito isso, determine a área da região
.
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