(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites: lim (x, y) (0,2) x(y-2)^2x^5+(y-2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para usar o teste dos caminhos e provar que o limite não existe. O enunciado é:
lim (x, y) (0,2) x(y-2)^2x^5+(y-2)^3
Então, vamos precisar entender como esse limite se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho em que x(2-2)^2x^5+(2-2)^3 = x cdot 0x^5 + 0 = 0x^5 = 0 . Isso significa que estamos nos movendo horizontalmente em direção a .
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar pelo caminho , o limite é igual a .

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente. Vamos tentar x(x)^2x^5+(x)^3 = x^3x^5 + x^3 = x^3x^3(x^2 + 1) = 1x^2 + 1 . Isso significa que estamos nos aproximando de limx to 0 1x^2 + 1 = 10 + 1 = 1 com uma inclinação de 45 graus.
Substituindo na função:
Agora, ao fazer :
Então, ao se aproximar pelo caminho , o limite é igual a .

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao nos aproximarmos por caminhos diferentes, isso prova que o limite não existe.

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