(a) se
é uma função crescente em
, então
é divergente?
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma função
que é crescente no intervalo
. A pergunta é: A integral impropria
é divergente?
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral e análise de funções crescentes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser crescente em um intervalo. Se
é crescente em
, então para todo
nesse intervalo, temos
. Ou seja, a função nunca diminui à medida que
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a integral impropria
. Essa integral é dita divergente se ela não soma para um valor finito, ou seja, se ela tende ao infinito.
Passo 4
Como
é crescente e definida em
, ela tem um comportamento específico ao se aproximar de
. Se
for limitada, ou seja, existe um limite finito
tal que
, ainda assim, como a função está sempre aumentando, para grandes valores de
,
será pelo menos tão grande quanto
.
Passo 5
Vamos analisar a integral
para
. Como
é crescente, temos:
Isso significa que a área sob a curva de
de
até
é pelo menos igual a
.
Passo 6
Agora, vamos considerar o limite quando
tende ao infinito:
Então, a integral
é pelo menos tão grande quanto algo que cresce sem limite, ou seja, diverge.
Resposta
Sim, a integral
é divergente.
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