(a) se f(x) é uma função crescente em (a, infty), então integrala^infty f(x) d x é divergente?

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos uma função que é crescente no intervalo . A pergunta é: A integral impropria é divergente?
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral e análise de funções crescentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser crescente em um intervalo. Se é crescente em , então para todo nesse intervalo, temos . Ou seja, a função nunca diminui à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a integral impropria . Essa integral é dita divergente se ela não soma para um valor finito, ou seja, se ela tende ao infinito.

Passo 4

Como é crescente e definida em , ela tem um comportamento específico ao se aproximar de . Se for limitada, ou seja, existe um limite finito tal que , ainda assim, como a função está sempre aumentando, para grandes valores de , será pelo menos tão grande quanto .

Passo 5

Vamos analisar a integral integrala^b f(x) , dx >= integrala^b f(a) , dx = f(a) cdot (b - a) para . Como é crescente, temos:
Isso significa que a área sob a curva de de até é pelo menos igual a .

Passo 6

Agora, vamos considerar o limite quando limb to infty integrala^b f(x) , dx >= limb to infty f(a) cdot (b - a) = infty tende ao infinito:
Então, a integral é pelo menos tão grande quanto algo que cresce sem limite, ou seja, diverge.

Resposta

Sim, a integral é divergente.

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