Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
© integral0^infty 1x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais improprias.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que essa é uma integral imprópria porque o intervalo de integração vai até o infinito. Para avaliar isso, vamos reescrever a integral com um limite:
integral0^infty 1x^4 dx = limb to infty integral0^b 1x^4 dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral x^n dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . Sabemos que:
integral 1x^4 dx = integral x^-4 dx = x^-3-3 + C = -13x^3 + C
Aqui, , então:

Passo 4

Vamos agora aplicar os limites de integração de 0 a integral0^b 1x^4 dx = [ -13x^3 ]0^b = -13b^3 - ( -13 cdot 0^3 ) :

Passo 5

Perceba que ao tentar substituir limb to infty ( -13b^3 + 13 cdot 0^3 ) , temos uma divisão por zero, o que sugere que a integral pode ser divergente. Mas vamos analisar o limite quando :
Como tende ao infinito, isso indica que a integral diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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