Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais improprias.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que essa é uma integral imprópria porque o intervalo de integração vai até o infinito. Para avaliar isso, vamos reescrever a integral com um limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 4
Vamos agora aplicar os limites de integração de 0 a
:
Passo 5
Perceba que ao tentar substituir
, temos uma divisão por zero, o que sugere que a integral pode ser divergente. Mas vamos analisar o limite quando
:
Como
tende ao infinito, isso indica que a integral
diverge.
Resposta
A integral é divergente.
Exercícios relacionados
(a) se
é uma função crescente em
, então
é divergente?
Calcule as integrais impróprias.
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Calcule as seguintes integrais definidas
(f)
(f)
Encontre o valor médio da função no intervalo dado. Faço um esboço da função neste intervalo e marque este ponto no gráfico. Use este valor para obter um retângulo com área equivalente à área sob o gráfico da função dada.
(b) ,
(b)