Calcule as seguintes integrais definidas, inclefinidas e imprópria:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de uma fração polinomial:
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente às Integrais de Funções Racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios no numerador e denominador e depois integrar o que resultar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
Então, a integral fica:

Passo 3

Como o grau do polinômio no numerador (4) é maior que o do denominador (2), precisamos fazer a divisão polinomial. Isso ajuda a simplificar a fração em uma parte polinomial mais uma fração onde o grau do numerador é menor que o do denominador.
Vamos dividir por :
  1. Dividendo:
  2. Divisor:

Passo 4

Dividindo por , temos . Multiplicamos o divisor por :
Subtraindo desse resultado do dividendo:

Passo 5

Agora, dividimos por , resultando em . Multiplicamos o divisor por :
Subtraindo novamente:

Passo 6

Continuando a divisão, dividimos por , que dá . Multiplicamos o divisor por :
Subtraindo:
Agora, a divisão termina porque o grau do resto é menor que o grau do divisor .

Passo 7

Então, a fração original fica:
Portanto, a integral pode ser escrita como:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
  1. (usando a regra )
Agora, a parte mais complicada é integrar . Para isso, vamos usar frações parciais.

Passo 9

Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Agora, encontramos os valores de e :
Escolha :
Escolha :

Passo 11

Então, a fração fica:
Agora, vamos integrar:

Resposta

Juntando tudo, a integral original é:
Onde é a constante de integração.

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