Calcule as seguintes integrais definidas, inclefinidas e imprópria:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de uma fração polinomial:
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente às Integrais de Funções Racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios no numerador e denominador e depois integrar o que resultar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
Então, a integral fica:
Passo 3
Como o grau do polinômio no numerador (4) é maior que o do denominador (2), precisamos fazer a divisão polinomial. Isso ajuda a simplificar a fração em uma parte polinomial mais uma fração onde o grau do numerador é menor que o do denominador.
Vamos dividir
por
:
- Dividendo:
- Divisor:
Passo 4
Dividindo
por
, temos
. Multiplicamos o divisor por
:
Subtraindo desse resultado do dividendo:
Passo 5
Agora, dividimos
por
, resultando em
. Multiplicamos o divisor por
:
Subtraindo novamente:
Passo 6
Continuando a divisão, dividimos
por
, que dá
. Multiplicamos o divisor por
:
Subtraindo:
Agora, a divisão termina porque o grau do resto
é menor que o grau do divisor
.
Passo 7
Então, a fração original fica:
Portanto, a integral pode ser escrita como:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
-
(usando a regra ) -
-
Agora, a parte mais complicada é integrar
. Para isso, vamos usar frações parciais.
Passo 9
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, encontramos os valores de
e
:
Escolha
:
Escolha
:
Passo 11
Então, a fração fica:
Agora, vamos integrar:
Resposta
Juntando tudo, a integral original é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Seja
a sequência de funções definidas por
Mostre que para todo
,
é um polinômio de grau
, cujos coeficientes estão em
.
Considere a funçăo
a)(Valor 1.0) Sabendo que
existe, encontre esse limite.
Estudos mostram que, daqui a
anos, a população de certo país será
milhares de pessas e a renda bruta do país será
milhões de dólares, em que
Expresse a renda percapita do país
em função do tempo
. (cuidado com as unidades!)
Calcule as seguintes integrais definidas, inclefinidas e imprópria: