Calcule as seguintes integrais definidas, inclefinidas e imprópria: integral 3 x^4+3 x^2-5 x^2+x-1x^2+x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de uma fração polinomial:
integral 3x^4 + 3x^2 - 5x^2 + x - 1x^2 + x - 2 , dx
Esse tipo de integral pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente às Integrais de Funções Racionais. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios no numerador e denominador e depois integrar o que resultar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador:
3x^4 + 3x^2 - 5x^2 + x - 1 = 3x^4 - 2x^2 + x - 1
Então, a integral fica:
integral 3x^4 - 2x^2 + x - 1x^2 + x - 2 , dx

Passo 3

Como o grau do polinômio no numerador (4) é maior que o do denominador (2), precisamos fazer a divisão polinomial. Isso ajuda a simplificar a fração em uma parte polinomial mais uma fração onde o grau do numerador é menor que o do denominador.
Vamos dividir por :
  1. Dividendo:
  2. Divisor:

Passo 4

Dividindo 3x^2(x^2 + x - 2) = 3x^4 + 3x^3 - 6x^2 por (3x^4 - 2x^2 + x - 1) - (3x^4 + 3x^3 - 6x^2) = -3x^3 + 4x^2 + x - 1 , temos . Multiplicamos o divisor por :
Subtraindo desse resultado do dividendo:

Passo 5

Agora, dividimos -3x(x^2 + x - 2) = -3x^3 -3x^2 + 6x por (-3x^3 + 4x^2 + x - 1) - (-3x^3 -3x^2 + 6x) = 7x^2 -5x -1 , resultando em . Multiplicamos o divisor por :
Subtraindo novamente:

Passo 6

Continuando a divisão, dividimos 7(x^2 + x - 2) = 7x^2 + 7x -14 por (7x^2 -5x -1) - (7x^2 +7x -14) = -12x +13 , que dá . Multiplicamos o divisor por :
Subtraindo:
Agora, a divisão termina porque o grau do resto é menor que o grau do divisor .

Passo 7

Então, a fração original fica:
3x^4 - 2x^2 + x - 1x^2 + x - 2 = 3x^2 - 3x + 7 + -12x +13x^2 + x - 2
Portanto, a integral pode ser escrita como:
integral (3x^2 - 3x + 7 + -12x +13x^2 + x - 2) , dx

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
  1. (usando a regra )
Agora, a parte mais complicada é integrar . Para isso, vamos usar frações parciais.

Passo 9

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2 + x -2 = (x + 2)(x -1)
Então, podemos escrever:
-12x +13(x + 2)(x -1) = Ax + 2 + Bx -1
Multiplicando ambos os lados por -12x +13 = A(x -1) + B(x + 2) :

Passo 10

Agora, encontramos os valores de -12(1) +13 = A(0) + B(3) Rightarrow -12 +13 = 3B Rightarrow 1 = 3B Rightarrow B = 13 e -12(-2) +13 = A(-3) + B(0) Rightarrow 24 +13 = -3A Rightarrow 37 = -3A Rightarrow A = -373 :
Escolha :
Escolha :

Passo 11

Então, a fração fica:
-12x +13x^2 + x -2 = -373cdot1x + 2 + 13cdot1x -1
Agora, vamos integrar:
integral (-373cdot1x + 2 + 13cdot1x -1) , dx = -373 ln|x + 2| + 13 ln|x -1| + C

Resposta

Juntando tudo, a integral original é:
x^3 - 32x^2 + 7x - 373 ln|x + 2| + 13 ln|x -1| + C
Onde é a constante de integração.

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