Seja
a sequência de funções definidas por
Mostre que para todo
,
é um polinômio de grau
, cujos coeficientes estão em
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definidas de forma recursiva:
O objetivo é mostrar que, para todo número natural
, a função
é um polinômio de grau
e que todos os seus coeficientes estão no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de polinômios, integração e indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
. Sabemos que:
Isso significa que o polinômio
é simplesmente o polinômio constante zero, que pode ser visto como um polinômio de grau
, mas para nosso propósito, podemos considerar que ele serve como base para a construção das próximas funções.
Passo 3
Agora, vamos ver como construir
usando a definição recursiva:
Então,
, que é um polinômio constante de grau
.
Passo 4
Vamos continuar para
:
Aqui,
, que é um polinômio de grau
.
Passo 5
Vamos para
:
Calculando a integral:
Avaliando de 0 a
:
Este é um polinômio de grau
.
Passo 6
Observamos um padrão: cada
é obtido integrando o quadrado de
e adicionando 1. Cada etapa aumenta o grau do polinômio de acordo com
.
Para generalizar, suponha que
seja um polinômio de grau
. Então,
será um polinômio de grau
. Ao integrar este polinômio, aumentamos o grau em 1, obtendo
, que é igual a
.
Passo 7
Além disso, os coeficientes de
são formados a partir das integrais dos coeficientes anteriores, que estão no intervalo
. A soma e o produto de números nesse intervalo também permanecem dentro de
, garantindo que todos os coeficientes de
estejam em
.
Resposta
Portanto, para todo
, a função
é um polinômio de grau
com coeficientes no intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere a funçăo
a)(Valor 1.0) Sabendo que
existe, encontre esse limite.
Suponha que os coeficientes do polinômio cúbico
satisfaçam a equação
Mostre que a equação
tem uma raiz entre 0 e 1 . Você consegue generalizar esse resultado para um polinônio de grau
?
Calcule as seguintes integrais definidas, inclefinidas e imprópria:
Estudos mostram que, daqui a
anos, a população de certo país será
milhares de pessas e a renda bruta do país será
milhões de dólares, em que
Expresse a renda percapita do país
em função do tempo
. (cuidado com as unidades!)