Seja varphin a sequência de funções definidas por
varphi0(x)=0, varphin(x)=1+integral0^x[varphin-1(t)]^2 d t
Mostre que para todo n in N, varphin é um polinômio de grau 2^n-1-1, cujos coeficientes estão em [0,1].

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definidas de forma recursiva:
varphi0(x) = 0, varphin(x) = 1 + integral0^x [varphin-1(t)]^2 dt
O objetivo é mostrar que, para todo número natural , a função é um polinômio de grau e que todos os seus coeficientes estão no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de polinômios, integração e indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar varphi0(x) = 0 . Sabemos que:
Isso significa que o polinômio é simplesmente o polinômio constante zero, que pode ser visto como um polinômio de grau , mas para nosso propósito, podemos considerar que ele serve como base para a construção das próximas funções.

Passo 3

Agora, vamos ver como construir varphi1(x) = 1 + integral0^x [varphi0(t)]^2 dt = 1 + integral0^x 0^2 dt = 1 + 0 = 1 usando a definição recursiva:
Então, , que é um polinômio constante de grau .

Passo 4

Vamos continuar para varphi2(x) = 1 + integral0^x [varphi1(t)]^2 dt = 1 + integral0^x 1^2 dt = 1 + integral0^x 1 dt = 1 + x :
Aqui, , que é um polinômio de grau .

Passo 5

Vamos para varphi3(x) = 1 + integral0^x [varphi2(t)]^2 dt = 1 + integral0^x (1 + t)^2 dt :
integral (1 + t)^2 dt = integral (1 + 2t + t^2) dt = t + t^2 + t^33 + C
Calculando a integral:
varphi3(x) = 1 + [ x + x^2 + x^33 ] = 1 + x + x^2 + x^33
Avaliando de 0 a :
Este é um polinômio de grau .

Passo 6

Observamos um padrão: cada é obtido integrando o quadrado de e adicionando 1. Cada etapa aumenta o grau do polinômio de acordo com .
Para generalizar, suponha que seja um polinômio de grau . Então, será um polinômio de grau . Ao integrar este polinômio, aumentamos o grau em 1, obtendo , que é igual a .

Passo 7

Além disso, os coeficientes de são formados a partir das integrais dos coeficientes anteriores, que estão no intervalo . A soma e o produto de números nesse intervalo também permanecem dentro de , garantindo que todos os coeficientes de estejam em .

Resposta

Portanto, para todo , a função é um polinômio de grau com coeficientes no intervalo .

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