Seja a sequência de funções definidas por
Mostre que para todo , é um polinômio de grau , cujos coeficientes estão em .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definidas de forma recursiva:
O objetivo é mostrar que, para todo número natural , a função é um polinômio de grau e que todos os seus coeficientes estão no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de polinômios, integração e indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar . Sabemos que:
Isso significa que o polinômio é simplesmente o polinômio constante zero, que pode ser visto como um polinômio de grau , mas para nosso propósito, podemos considerar que ele serve como base para a construção das próximas funções.

Passo 3

Agora, vamos ver como construir usando a definição recursiva:
Então, , que é um polinômio constante de grau .

Passo 4

Vamos continuar para :
Aqui, , que é um polinômio de grau .

Passo 5

Vamos para :
Calculando a integral:
Avaliando de 0 a :
Este é um polinômio de grau .

Passo 6

Observamos um padrão: cada é obtido integrando o quadrado de e adicionando 1. Cada etapa aumenta o grau do polinômio de acordo com .
Para generalizar, suponha que seja um polinômio de grau . Então, será um polinômio de grau . Ao integrar este polinômio, aumentamos o grau em 1, obtendo , que é igual a .

Passo 7

Além disso, os coeficientes de são formados a partir das integrais dos coeficientes anteriores, que estão no intervalo . A soma e o produto de números nesse intervalo também permanecem dentro de , garantindo que todos os coeficientes de estejam em .

Resposta

Portanto, para todo , a função é um polinômio de grau com coeficientes no intervalo .

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Considere a funçăo
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Estudos mostram que, daqui a anos, a população de certo país será milhares de pessas e a renda bruta do país será milhões de dólares, em que
Expresse a renda percapita do país em função do tempo . (cuidado com as unidades!)