Considere a funçăo
a)(Valor 1.0) Sabendo que
existe, encontre esse limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que muda dependendo de onde estamos no plano. O exercício pede para a gente encontrar o limite dessa função quando
se aproxima de
. A matéria aqui é limites em funções de várias variáveis, e vamos precisar entender como calcular esse limite para ver qual valor a função está se aproximando nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando
:
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando
se aproxima de
.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares. Isso é útil porque simplifica a análise do limite quando nos aproximamos da origem. Lembra que nas coordenadas polares:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
na função, temos:
Simplificando os
:
Passo 5
Sabemos que
, então a expressão fica:
Agora, queremos ver o que acontece quando
tende a 0.
Passo 6
Como
é uma combinação finita de funções trigonométricas limitadas (entre -1 e 1), o termo inteiro
está limitado. Ou seja, existe algum número
tal que:
Portanto:
Quando
tende a 0,
também tende a 0.
Passo 7
Conseguimos mostrar que:
Isso porque, independente do ângulo
, o limite é controlado por
que está indo para 0.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de
é
.
Exercícios relacionados
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tem uma raiz entre 0 e 1 . Você consegue generalizar esse resultado para um polinônio de grau
?
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,
a) (Valor 1.0) Encontre O domínio,
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a sequência de funções definidas por
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,
é um polinômio de grau
, cujos coeficientes estão em
.
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