Considere a funçăo
a)(Valor 1.0) Sabendo que existe, encontre esse limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda dependendo de onde estamos no plano. O exercício pede para a gente encontrar o limite dessa função quando se aproxima de . A matéria aqui é limites em funções de várias variáveis, e vamos precisar entender como calcular esse limite para ver qual valor a função está se aproximando nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando :
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando se aproxima de .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares. Isso é útil porque simplifica a análise do limite quando nos aproximamos da origem. Lembra que nas coordenadas polares:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo e na função, temos:
Simplificando os :

Passo 5

Sabemos que , então a expressão fica:
Agora, queremos ver o que acontece quando tende a 0.

Passo 6

Como é uma combinação finita de funções trigonométricas limitadas (entre -1 e 1), o termo inteiro está limitado. Ou seja, existe algum número tal que:
Portanto:
Quando tende a 0, também tende a 0.

Passo 7

Conseguimos mostrar que:
Isso porque, independente do ângulo , o limite é controlado por que está indo para 0.

Resposta

O limite de quando se aproxima de é .

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