Considere a funçăo
f(x, y)= x^3+y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) k^2-3, & se (x, y)=(0,0)
a)(Valor 1.0) Sabendo que lim f(x, y) existe, encontre esse limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda dependendo de onde estamos no plano. O exercício pede para a gente encontrar o limite dessa função quando se aproxima de . A matéria aqui é limites em funções de várias variáveis, e vamos precisar entender como calcular esse limite para ver qual valor a função está se aproximando nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando f(x, y) = x^3 + y^3x^2 + y^2 :
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando se aproxima de .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares. Isso é útil porque simplifica a análise do limite quando nos aproximamos da origem. Lembra que nas coordenadas polares:
x = r cos(theta) y = r sin(theta)
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo f(r, theta) = (r cos(theta))^3 + (r sin(theta))^3(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^3 (cos^3(theta) + sin^3(theta))r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) e f(r, theta) = r cdot cos^3(theta) + sin^3(theta)cos^2(theta) + sin^2(theta) na função, temos:
Simplificando os :

Passo 5

Sabemos que f(r, theta) = r cdot (cos^3(theta) + sin^3(theta)) , então a expressão fica:
Agora, queremos ver o que acontece quando tende a 0.

Passo 6

Como |cos^3(theta) + sin^3(theta)| <= M é uma combinação finita de funções trigonométricas limitadas (entre -1 e 1), o termo inteiro |f(r, theta)| = |r| cdot |cos^3(theta) + sin^3(theta)| <= |r| cdot M está limitado. Ou seja, existe algum número tal que:
Portanto:
Quando tende a 0, também tende a 0.

Passo 7

Conseguimos mostrar que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0
Isso porque, independente do ângulo , o limite é controlado por que está indo para 0.

Resposta

O limite de quando se aproxima de é .

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